Bestimmen Sie jeweils eine Basis und die Dimension von U1, U2 und U3.

Question

Aufgabe:

Aufgabe (Untervektorräume und Summen von Untervektorräume)
Gegeben sind die folgenden Untervektorräume von R3
U1 = {(x, y, 0) ∈ R3 | x, y ∈ R}, U2 = {(0, 0, z) ∈ R3 | z ∈ R}, U3 = {(0, y, z) ∈ R3 | y, z ∈ R}.
(a) Bestimmen Sie jeweils eine Basis und die Dimension von U1, U2 und U3.
(b) Bestimmen Sie jeweils eine Basis und die Dimension von U1 ∩ U2, U2 ∩ U3, U1 ∩ U3.
(c) Bestimmen Sie jeweils eine Basis und die Dimension von U1 +U2, U2 +U3, U1 +U3.
(d) Welche der Summen U1 + U2, U2 + U3, U1 + U3 ist eine direkte Summe?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo

wenn du  2 frei zu wählende Komponenten hast und die dritte 0 ist welche Dimension man dann hat??

 1 freie Komponente, die anderen 0 welche Dimension?

Beispiel (x,y,0) Basis (1,0,0) (0,1,0) kannst du daraus alle Vektoren (x,y) linear kombinieren.

Bitte versuch doch erstmal selbst und sag genauer woran du scheiterst!!

Gruß lul

Answer 2

U1 = {(x, y, 0) ∈ R3 | x, y ∈ R}   Basis ((1,0,0),(0,1,0))  dim=2

U2 = {(0, 0, z) ∈ R3 | z ∈ R}    Basis (0,0,1)    dim=1

U3 = {(0, y, z) ∈ R3 | y, z ∈ R}    Basis ((0,0,1),(0,1,0))   dim=2 .