Suche Punkte auf der Geraden g, die von der Ebene E: 2x +y+z =1 den Abstand 1/√6 haben.

Question

Aufgabe: Man bestimme alle Punkte auf der durch Q1=(2,-2,2) und Q2=(3,-4,3) gehenden Geraden g, die von der Ebene E: 2x +y+z =1 den Abstand 1/√6 haben.

Die Lösung der Punkte sind R1 = (0,2,0); R2=(-2,6,-2)

Wo habe ich den Fehler in meiner Rechnung ?

Answer 1

Aufgabe: Man bestimme alle Punkte auf der durch Q1=(2,-2,2) und Q2=(3,-4,3) gehenden Geraden g, die von der Ebene E: 2x +y+z =1 den Abstand 1/√6 haben. 

g: X = [2, -2, 2] + r * ([3, -4, 3] - [2, -2, 2]) = [r + 2, - 2·r - 2, r + 2]

Abstandsform der Ebene

d = (2·x + y + z - 1)/√(2^2 + 1^2 + 1^2)

d = (2·x + y + z - 1)/√6

 

Hier jetzt die Gerade g Einsetzen

d = (2·(r + 2) + (- 2·r - 2) + (r + 2) - 1)/√6

d = (r + 3)/√6 = ± 1/√6

r + 3 = 1
r = -2

r + 3 = -1
r = -4

 Jetzt mit g die Punkte ausrechnen

g: X = [(-2) + 2, - 2·(-2) - 2, (-2) + 2] = [0, 2, 0]

g: X = [(-4) + 2, - 2·(-4) - 2, (-4) + 2] = [-2, 6, -2]

Answer 2

Der Weg via HNF sieht gut aus. Ich habe jetzt nicht alle Vorzeichen nachgeprüft.

Schreib am Schluss die Punkte als Punkte horizontal: P(4,-6,4) und Q(6,-10,6).

Zur Kontrolle kannst du diese Punkte noch in die HNF einsetzen.

Schreib am besten von Anfang an links in den Gleichung jeweils

±| 1/√6 |

Da |1/√6| = 1/√6 gilt.

Comments

Kontrolle ins HNF stimmt nicht.

Grund: Zähler ergibt bei mir 4+2t -2-2t + 2 + t -1 = 3+t.

Gleichung sollte mE lauten:

±|1/√6| = (3+t)/√6        |*√6

±1 = 3+t

-2 = t1

-4= t2