Aufgabe:
Sei f : R → R eine Abbildung, so dass ein 0 ≤ q < 1 existiert mit |f(x) − f(y)| ≤ q|x − y|
für alle x, y ∈ R. Zeigen Sie: Es existiert genau ein x ∈ R mit f(x) = x (x heißt dann
Fixpunkt von f). Verfahren Sie hierzu wie folgt:
(a) (1 Punkt) Zeigen Sie zunächst, dass f höchstens einen Fixpunkt besitzt.
(b) (1 Punkt) Sei x0 ∈ R beliebig und die Folge (xn)n∈N rekursiv definiert durch x1 :=
f(x0) und xn+1 := f(xn) für alle n ∈ N. Zeigen Sie: Für alle n ∈ N gilt |xn+1 − xn| ≤ q^n * |x1 − x0|.
(c) (2 Punkte) Folgern Sie aus (b), dass (xn)n∈N konvergiert.
(d) (1 Punkt) Zeigen Sie, dass x = lim n→∞ xn ein Fixpunkt von f ist.
Problem/Ansatz:
In der Vorlesung haben wir Fixpunkte nicht behandelt soweit ich weiß, und trotzdem muss ich diese Übung für morgen machen. Ich habe nicht mal ansatzweise eine Idee, wie ich vorgehen soll, vor allem bei den Teilen a) und b). Kann mir da jemand helfen?
