Guten Morgen Zusammen,
Ich hab hier Probleme bei dieser Aufgabe, bei der ich Eure Hilfe gebrauchen könnte:
Sei f : R → R eine Abbildung, so dass ein 0 ≤ q < 1 existiert mit |f(x)−f(y)| ≤ q|x−y| für alle x,y ∈ R.
Zeige: Es existiert genau ein x ∈ R mit f(x) = x (x heißt dann Fixpunkt von f).
Mit dem folgenden Verfahren:
a) Zeige zunächst, dass f höchstens einen Fixpunkt besitzt.
(b) Sei x0 ∈ R beliebig und die Folge (xn)n∈N rekursiv definiert durch x1 := f(x0) und xn-1 := f(xn) für alle n ∈ N.
Zeige: Für alle n ∈ N gilt |xn-1 −xn| ≤ qn|x1− x0|.
(c) Folgere aus (b), dass (xn)n∈N konvergiert.
(d) Zeige, dass x = limn→∞ xn ein Fixpunkt von f ist.
Schonmal vielen Dank!
Grüße
