Wie muss man die Höhe h und den Radius r einer zylinderförmigen Dose wählen, damit sie ein Volumen von 1000 Litern …

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Wie muss man die Höhe \( h \) und den Radius \( r \) einer zylinderförmigen Dose wählen, damit sie ein Volumen von 1000 Litern hat und die Oberfläche minimal ist?
a. Geben sie die Formel für die Höhe \( h \) in Abhängigkeit vom Radius \( r \) an.
\( h=1000 /\left(\text { pi }^{*} r^{\wedge} 2\right) \)
Your last answer was interpreted as follows:
\( \frac{1000}{\pi \cdot r^{2}} \)
The variables found in your answer were: \( [r] \)
b. Die Oberfläche des Zylinders hängt von der Höhe \( h \) und dem Radius \( r \) ab.
Geben Sie die Formel für die Oberfläche \( O \) nur in Abhängigkeit von dem Radius \( r \) an.
\( O(r)=2^{*} \mathrm{pi}^{*} \mathrm{r}^{\wedge} 2+2000^{*} \mathrm{r}^{\wedge}-1 \)
Your last answer was interpreted as follows:
\( 2 \cdot \pi \cdot r^{2}+2000 \cdot r^{-1} \)
The variables found in your answer were: \( [r] \)
c. Sei \( r_{0} \) der von Ihnen berechnete Radius. Wie argumentieren Sie, dass \( r_{0} \) eine Minimalstelle ist?
A: \( r_{0} \) ist die einzige Extremstelle und \( O^{\prime}(r) \) wechselt an der Stelle \( r_{0} \) das vorzeichen von negativ zu positiv.
B: \( O^{\prime \prime}\left(r_{0}\right)=0 \wedge O^{\prime \prime \prime}\left(r_{0}\right) \neq 0 \)
\( \mathrm{C:} O^{\prime}\left(r_{0}\right)=0 \wedge O^{\prime}\left(r_{0}\right)>0 \)
D: \( O^{\prime}\left(r_{0}\right)=0 \wedge O^{\prime \prime}\left(r_{0}\right)<0 \)
E: \( r_{0} \) ist die einzige Extremstelle und \( O^{\prime}(r) \) wechselt an der Stelle \( r_{0} \) das Vorzeichen von postitiv zu negativ.
d. Geben Sie die optimalen Parameterwerte \( r_{0} \) und \( h_{0} \) näherungsweise an.
Hinweis: Runden Sie die Ergebnisse jeweils auf eine Genauigkeit von einem Millimeter.
\( r_{0} \approx 54 \quad \mathrm{~mm} \quad h_{0} \approx 10835 \mathrm{~mm} \)
Your last answer was interpreted as follows:
Your last answer was interpreted as follows:
54
\( 10835 \)

Problem/Ansatz:

Bei dem genau das gleiche. Ich bin mir relativ sicher und wollte fragen ob das so stimmt.

Answer 1

Hauptbedingung O(r)=2πr(h+r)

Nebenbedingung 1000= π·r²h nach h auflösen und in Hauptbedingung einsetzen.

Nullstellen der ersten Ableitung von =(r) bestimmen und auf MInMax prüfen.

Answer 2

Wie kommen die bei d) auf den Radius und die Höhe?

Ich habe beim Radius 1260 mm raus

Comments

Ich habe beim Radius 1260 mm raus

Wie kommst Du auf 1260 mm? Ich kann Dein Ergebnis nicht nachvollziehen und komme auf das, was in der Aufgabe angegeben ist.

Vielleicht hast Du die Mantelfläche anstatt die Oberfläche genommen?

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$$O(r)= 2*pi*r(r+ \frac{1000}{r^2*pi})$$

Ist meine Oberflächenformel falsch?

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Die Oberfläche besteht aus Mantelfläche und zwei Kreisflächen.

= 2 π r * h   +   2 * (π r²)

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Ich habe

$$O(r)=2*pi*r + (r + \frac{1000}{pi*r^2})$$

$$=2*pi*r+ \frac{2000 pi}{r^2*pi} + 2 *pi *r + \frac{-4000}{pi*r^3}$$

$$= 4 *pi*r + \frac{2000}{r^2}+ \frac{-4000}{r^2}$$

$$= 4 pi r +\frac{-2000}{r^2}=0$$

$$4 pi r^3-2000=0$$

$$r^3= 2000/4 pi$$

$$r= 5.41$$

5.41 dm = 541 mm

Wo ist mein Fehler?

Findet den jemand?

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O(r) kann bei dir schon deshalb nicht stimmen, weil nicht alle Summanden - wenn man r einsetzen würde - eine Fläche ergeben würden.

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Runden ist wohl nicht so deins.

r = (500/pi)^(1/3) = 5.419 dm = 541.9 mm

h = (4000/pi)^(1/3) = 10.84 dm = 1084 mm

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Ich habe doch vorgestern die richtige Flächenformel aufgeschrieben. Verwende sie.