Funktion 4ter Ordnung bestimmen mit Punkt, Wendepunkt und Tangente

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Servus an alle,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Bin bisher erst durch diese Ansätze weiter gekommen:

1.) Unsere Funktion läuft durch den Ursprung

f(0) = 0 :         f(0) = a * 0 ^4 + b * 0 ^3 + c * 0 ^2 + d * 0 ^1 + e

Demnach ist unsere Konstante e = 0

2.) Unsere Funktion geht durch den P(2,0)

f(2) = 0 :         f(2) = 16 * a + 8 * b + 4 * c + 2 * d

und 3.) Unsere Funktion hat im Punkt (0,0) einen WP mit einer 45 Grad Tangente.

Demnach müsste die Steigung am Punkt (0,0) entweder "-x" oder "x" betragen. Abhängig von Funktionsverlauf...

Hoffe mir kann jemand mit meinem Ansatz weiterhelfen.
LG,

fvaltrock

Answer 1

a)

f(2) = 0
f'(2) = 0
f(0) = 0
f''(0) = 0
f'(0) = ±1 --> f(x) = ± (0,25·x^4 - 0,75·x^3 + x)

b)

∫ (0 bis 2) (0.25·x^4 - 0.75·x^3 + x) dx = 3/5 = 0,6 FE

Comments

Servus

also ich kann die Herleitung aller Punkte nachvollziehen. Leider ergibt sich mir absolut nicht was dein letzter Schritt ist. Wieso ist die Ableitung an der Stelle 0 = +/- 1 und wie lässt sich darauf dann diese f(x) = +- Formel herleiten?

Kannst du diese Schritte eventuell noch einmal erläutern?

Beste Grüße,

Fvaltrock

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Das hattest du doch fast schon richtig erkannt

Demnach müsste die Steigung am Punkt (0,0) entweder "-x" oder "x" betragen. Abhängig von Funktionsverlauf...

Die Steigung muss allerdings nicht ± x sondern nur ±1 betragen.

Welche Funktion ergibt sich für die Steigung +1 und welche für die Funktion -1? Warum unterscheiden sich die beiden Funktionen also nur durch den Faktor -1?

Versuche mal die Fragen zu beantworte?

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Diese Schlussfolgerung habe ich deshalb gemacht, weil lediglich die Steigung der Tangente gegeben ist und deren Verlauf ja noch unbekannt ist. Sie könnte also auch einen 45 Grad Winkel haben und einen negativen Steigungsverlauf haben. Das ist der Unterschied von -1 und 1, der Verlauf, oder etwa nicht?

Im Endeffekt hat man aber dann doch wenn man die Funktion hat eine Tangente mit Positiven Steigungsverlauf. Demnach würde die Option, dass es negativ ist ja wegfallen.

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Nein. Es gibt zwei mögliche Funktionen. Die allerdings symmetrisch zur x-Achse liegen und damit ergibt sich bei b für beide Funktionen natürlich die gleiche Fläche.

~plot~ 0.25x^4-0.75x^3+x;x ~plot~

oder

~plot~ -(0.25x^4-0.75x^3+x);-x ~plot~

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Ah okay ich verstehe. Jetzt macht das auch mit der Endfunktion mit dem +/- Sinn. Perfekt, danke fürs erklären!

Dennoch, die endgültge Herleitung zur Endformel f1(x) = -(0,25x4-0,75x3+x) ist mir immer noch nicht klar.

Answer 2

f(0) = 0

f(2)= 0

f '(2) = 0

f ''(0) =0

f '(0) = tan45°= 1

Comments

f '(0) = tan45°= 1

Hältst du es nicht für besser, (nach den Anregungen des Fragestellers, der DIESES Detail besserdurchschaut hat)

f'(0)=±1

anzusetzen?

Answer 3

\(f(x)=a*[x*(x-2)^2*(x-N)]=a*[(x^3-4x^2+4x)*(x-N)]\)

\(f´(x)=a*[(3x^2-8x+4)*(x-N)+(x^3-4x^2+4x)]\)

m=1 im Ursprung:

\(f´(0)=a*[-4N]=1\)       \(a=-\frac{1}{4N}\)

\(f´´(x)=-\frac{1}{4N}*[(6x-8)*(x-N)+3x^2-8x+4 +3x^2-8x+4]\)

\(f´´(0)=-\frac{1}{4N}*[8N+8]\)

\([8N+8]=0\)    \(N=-1\)                \(a=\frac{1}{4}\)

\(f(x)=\frac{1}{4}*x*(x-2)^2*(x+1)\)