Grundsätzlich kannst du eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen (denn ich nehme an darum geht es), als Matrix auffassen. Dann gilt mit Matrizenmultiplikation für die zu \(f\) gehörige Abbildungsmatrix \(M\) und einen Basisvektor \(v_{j}\), dass \(f(v_{j})=M\cdot v_{j}\).
Kennst du nun \(v_{j}\) und \(f(v_{j})\), dann kannst du die Matrix rekonstruieren, indem du jedes Bild eines Basisvektors intern der Basis des Zielraums ausdrückst. Also für jedes \(f(v_{j})\) suchst du eine Darstellung \(\sum_{i=1}^{m}a_{ij}b_{i}\) mit \(m\) er Dimension des Zielraums. Dann musst du lediglich die Koeffizienten gemäß der Indizierung in eine Matrix schreiben.
Besonders "einfach" ist es wenn der Zielraum mit ein mit Standardbasis ausgestatteter \(K^{n}\) ist, dann sind die Bilder der Basis genau die Spalten der Matrix.
