Geben Sie eine (2 × 2)-Matrix A, so dass für alle x ∈ R^2 die Gleichung Ax = f(x) gilt.

Question

Aufgabe:

In der Vorlesung wurde gezeigt, dass eine lineare Abbildung f : V → W eindeutig bestimmt
ist durch die Bilder einer der Elemente einer Basis von V . Wir betrachten die lineare Abbildung
f : R² → R² mit f((1, 1)) = (3, 4) und f((−2, 2)) = (2, 0). Geben Sie eine (2 × 2)-Matrix A, so dass
für alle x ∈ R² die Gleichung Ax = f(x) gilt.
Hinweis: Ermitteln Sie zunächst Bilder f(e1) und f(e2) der Einheitsvektoren e1 = (1, 0) und e2 =
(0, 1) unter der Abbildung f.

Ich hoffe mir kann von euch jemand helfen, Danke im voraus.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du weißt, wie die gesuchte Matrix \(A\) auf zwei Vektoren wirkt:$$A\binom{1}{1}=\binom{3}{4}\quad;\quad A\binom{-2}{2}=\binom{2}{0}\quad\implies\quad A\begin{pmatrix}1 & -2\\1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 2\\4 & 0\end{pmatrix}$$Rechts haben wir die beiden Gleichungen zu einer Matrix-Gleichung zusammengefasst. Daraus können wir \(A\) berechnen:$$A=\begin{pmatrix}3 & 2\\4 & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & -2\\1 & 2\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 2\end{pmatrix}$$

Wenn du dem Tipp folgen möchtest:

$$\binom{1}{0}=\frac14\left(2\binom{1}{1}-\binom{-2}{2}\right)\implies$$$$f\binom{1}{0}=\frac14\left(2f\binom{1}{1}-f\binom{-2}{2}\right)=\frac12f\binom{1}{1}-\frac14f\binom{-2}{2}=\frac12\binom{3}{4}-\frac14\binom{2}{0}=\binom{1}{2}$$$$\binom{0}{1}=\binom{1}{1}-\binom{1}{0}\implies$$$$f\binom{0}{1}=\binom{3}{4}-\binom{1}{2}=\binom{2}{2}$$

Die gesuchte Matrix \(A\) enthält die Bilder der Basisvektoren als Spalten, also:$$A=\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 2\end{pmatrix}$$