Zeigen Sie, dass die Folge (E_{n})_{n} streng monoton fallend ist.

Question

Betrachten Sie die Folge \( \left(E_{n}\right)_{n} \) mit
\( E_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \text {. } \)
Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(E_{n}\right)_{n} \) streng monoton fallend ist.

Answer 1

\(E_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} =(\frac{n+1}{n})^{n+1}  \)

Bleibt zu zeigen : Für alle n∈ℕ gilt \(  (\frac{n+1}{n})^{n+1}  \gt (\frac{n+2}{n+1})^{n+2}  \)

<=>   \(  (\frac{n+1}{n})^{n+1}  \gt (\frac{n+2}{n+1})^{n+1} \cdot \frac{n+2}{n+1}  \)

<=>  \( \frac{ (\frac{n+1}{n})^{n+1}  } {  (\frac{n+2}{n+1})^{n+1} }\gt  \frac{n+2}{n+1}  \)

<=>  \(  (\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n})^{n+1} \gt \frac{n+2}{n+1}  \)

<=>  \(  (  1 +  \frac{1}{n(n+2)})^{n+1} \gt \frac{n+2}{n+1}  \)   #

Mit Bernoulli

=>  \(  (  1 +  \frac{1}{n(n+2)})^{n+1} \gt 1 +  \frac{n+1}{n(n+2)}  \)

Um # zu bestätigen fehl nur noch der Nachweis von

\(    1 +  \frac{n+1}{n(n+2)}  \gt \frac{n+2}{n+1}  = 1+  \frac{1}{n+1} \)

<=> \(   \frac{n+1}{n(n+2)} \gt  \frac{1}{n+1} \)

<=> \(  (n+1)^2   \gt n(n+2) \)

<=> \(  n^2 + 2n + 1  \gt n^2 + 2n \)  Bingo !