Zeigen Sie, dass ≤lex auch Noethersch ist.

Question

(n, m) ≤lex (n´, m´) ⇔df n < n´ ∨ (n = n´ ∧ m ≤ m´).
Es gilt also beispielsweise (1, 7) ≤lex (2, 0) und (7, 2) ≤lex (7, 3).
Zeigen Sie, dass ≤lex eine Noethersch auf N × N ist.

Answer 1

Ich zeige, dass in jeder Teilmenge \(T\) von \(N \times N\) ein kleinstes

Element bzgl. \(\leq_{lex}\) existiert.

Sei \(x_0=\min \{x: \; (x,y)\in T\}\). Solch ein \(x_0\) existiert,

da \(N\) wohlgeordnet bzgl. \(\leq\) ist.

Nun sei \(y_0=\min \{y: \; (x_0,y) \in T\}\). Dann ist

\((x_0,y_0)\) das kleinste Element von \(T\) bzgl. \(\leq_{lex}\).

Ich würde eher sagen, dass es sich hier um die Eigenschaft "artinsch"

handelt. Hier gibt es wohl eine gewisse Begriffsverwirrung.