Aufgabe:
falls den Grenzwert. Begründen Sie Ihre Antworten.(a) \( a_{n}=\frac{n}{2^{n}} \)(b) \( b_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-n \)(c) \( c_{n}=\sqrt[n]{x^{n}+y^{n}} \quad(0<x<y) \).
Zu (a) Z.B. kann man per Induktion über \(n\) zeigen, dass \(n^2<2^n\) für alle \(n>4\) ist. Darausfolgt \(a_n=\frac n{2^n}<\frac1n\). Da \(\frac1n\) bekanntlich eine Nullfolge und \(a_n>0\) ist, muss nach dem Sandwichlemmaauch \(a_n\) eine Nullfolge sein.
Hallo
wenn du dle GW bestimmt hast, weisst du ja wie und das ist die Begründung.
oder du musst ein N angeben so dass für alle an gilt |an-a|<ε wenn a der GW ist.
Gruß lul
a) 2^n wächst schneller als n -> Nullfolge, Grenzwert 0
b) Erweitere zur 3. binom. Formel -> Nullfolge
c) x^n kann man vernachlässigen -> lim = x
Was genau meinst du mit wächst schneller ? 3n wächst auch schneller als 2n, aber \(\frac{2n}{3n}\) ist keine Nullfolge.
Es heißt doch 2^n.
Die Potenz wächst schneller. Das wollte ich sagen.
Das sollte als Begründung ausreichen oder nicht?
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