Aufgabe:
Beispiel: Bernoulli-Kette der Länge \( \mathbf{n}=4 \)
Ein Würfel wird viermal geworfen. X sei die Anzahl der dabei geworfenen Sechsen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \( X=2 \), d. h. für genau zwei Sechsen.
Lösung:
Es ist eine Bernoulli-Kette der Länge \( \mathrm{n}=4 \) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \( \mathrm{p}=\frac{1}{6} \).
Das Diagramm veranschaulicht die Kette als mehrstufigen Zufallsversuch.
Die Wahrscheinlichkeit eines Weges mit genau zwei Treffern und zwei Nieten beträgt nach der Produktregel \( \left(\frac{1}{6}\right)^{2} \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{2} \).
Es gibt \( \left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right) \) solcher Pfade, da man \( \left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right) \) Möglichkeiten hat, die beiden Treffer auf die vier Plätze eines Pfades zu verteilen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lautet: \( P(X=2)=\left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right) \cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{2} \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{2} \approx 0,1157 \)
Problem/Ansatz:
Ich habe eine Frage zu der obigen Aufgabe, zu der die Lösung bereits bekannt ist.
Mir wird nicht klar, wieso man hier für die Anzahl der Möglichkeiten den Binomialkoeffizienten verwendet. Ich kenne den Binomialkoeffizienten nur vom Fall "Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen". In der obigen Aufgabe handelt es sich doch aber um einen Würfel, also wird "zurückgelegt" bzw. man kann eine Zahl mehrfach würfeln.
Würde mich freuen, wenn mir jemand erklärt (gerne mit Baumdiagramm) wieso man für die Anzahl der Möglichkeiten des Ereignisses "2 Mal die 6" den Binomialkoeffizienten verwendet
