Es geht doch um die Determinate von
\(A_{n}=\left(\begin{array}{lllll} 2 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & 2 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) . \)
Wenn du die für n≥3 nach der ersten Zeile entwickelst, bekommst du
\( 2*det(A_{n-1})-det(\left(\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & 2 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) ) \)
und nun noch
\( \left(\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & 2 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \)
nach der 1. Spalte entwickeln, das gibt det(An-2) .
Damit ist (a) erledigt.
(b) Für n=2 ist die Matrix
2 1
1 2 also a2 = det(A2) = 4-1 = 3
und für n=3
2 1 0
1 2 1 also a3 = det(A2) = 2*3 - 1*2 = 6-2 = 4 = a2+1
0 1 2
Wenn für ein n≥3 gilt \(a_{n}=a_{n−1} +1 \gt 0 \)
Dann folgt wegen \( a_{n} =2a_{n−1} −a_{n−2} \) auch
\( a_{n+1} =2a_{n} −a_{n−1} \)
\( =2(a_{n−1} +1 )−a_{n−1} =a_{n} +1 \) q.e.d.