Zeigen Sie, dass für alle n ≥ 3 gilt (Matrixen)

Question

Aufgabe:

Es sei an =det(An) für n∈N.

(a) Zeigen Sie, dass für alle n ≥ 3 gilt: an =2an−1 −an−2.

(b) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n ≥ 2 gilt: an =an−1 +1>0.

Problem/AnsatBemerkung: Insbesondere ist die Matrix An für alle n ∈ N invertierbar.

* Wie gehe ich bei so solchen Aufgaben vor, wie gelange ich zu den Lösungen, ich habe nirgendwo

Text erkannt:

Für \( n \in \mathbb{N} \) sei \( A_{n} \) folgende \( n \times n \)-Matrix mit reellen Einträgen:
\( A_{n}=\left(\begin{array}{lllll} 2 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & 2 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) . \)
Es sei \( a_{n}=\operatorname{det}\left(A_{n}\right) \) für \( n \in \mathbb{N} \).

den Ansatz gefunden, ich bedanke mich jetzt schonmal für eure Hilfe.

LG

Answer 1

Es geht doch um die Determinate von

\(A_{n}=\left(\begin{array}{lllll} 2 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & 2 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) . \)

Wenn du die für n≥3 nach der ersten Zeile entwickelst, bekommst du

\( 2*det(A_{n-1})-det(\left(\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & 2 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) )       \)

und nun noch

\( \left(\begin{array}{lllll} 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & 2 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)    \)

nach der 1. Spalte entwickeln, das gibt det(A_n-2) .

Damit ist (a) erledigt.

(b)  Für n=2 ist die Matrix

2   1
1   2      also a₂ = det(A₂) = 4-1 = 3

und für n=3

2  1   0
1  2   1   also a₃ = det(A₂) = 2*3 - 1*2 = 6-2 = 4 = a₂+1 
0  1   2

Wenn für ein n≥3 gilt \(a_{n}=a_{n−1} +1 \gt 0 \)

Dann folgt wegen \( a_{n} =2a_{n−1} −a_{n−2} \) auch

\( a_{n+1} =2a_{n} −a_{n−1} \)

\(  =2(a_{n−1} +1 )−a_{n−1}  =a_{n} +1 \)  q.e.d.