Berechnen Sie Mn (orthogonaler Vektor), bestimme Mv

Question

Aufgabe:

Es seien
\( \vec{n}=\left(\begin{array}{l}a \\ b \\ c\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \) mit \( a=1 / 2=-b, c=1 / \sqrt{2} \quad \) und \( \quad M=E_{3}-2 \vec{n} \vec{n}^{T}=\left(\begin{array}{ccc}1-2 a^{2} & -2 a b & -2 a c \\ -2 a b & 1-2 b^{2} & -2 b c \\ -2 a c & -2 b c & 1-2 c^{2}\end{array}\right) \).
(a) Berechnen Sie \( M \vec{n} \). Es sei \( \vec{v} \in \mathbb{R}^{3} \) ein zu \( \vec{n} \) orthogonaler Vektor. Bestimmen Sie \( M \vec{v} \).
(b) Welche geometrische Bewegung des Raums \( \mathbb{R}^{3} \) beschreibt die Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \vec{x} \mapsto M \vec{x} \) ?
(c) Bestimmen Sie alle Eigenwerte der Matrix \( M \) und die zugehörigen Eigenräume
\(. \operatorname{Eig}_{M}(\lambda):=\left\{\vec{v} \in \mathbb{R}^{3} \mid\left(M-\lambda E_{3}\right) \vec{v}=0\right\} . \)
(d) Bestimmen Sie die Umkehrabbildung \( g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) zu \( f \), d.h.: es soll \( g(f(\vec{x}))=\vec{x}=f(g(\vec{x})) \) für alle \( \vec{x} \in \mathbb{R}^{3} \) gelten.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich vor? Es wäre sehr nett Lösungswege und Tipps weiterzugeben. Ich bedanke mich im Voraus!

LG

Answer 1

Ich geh davon aus b=-1/2

Ein paar Anregungen

\(\small M \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{-1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\\end{array}\right)\)

zu \( \vec{n} \) orthogonaler Vektor würde sich anbieten

\(\small v \, :=  \, \left(\begin{array}{r}1\\1\\0\\\end{array}\right)\)

Eigenwerte/vektoren für

M:={{1 / 2, 1 / 2, -1 / sqrt(2)}, {1 / 2, 1 / 2, 1 / sqrt(2)}, {-1 / sqrt(2), 1 / sqrt(2), 0}

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/upUZg79r

oder

M n = -n

M v = v

===> EW: λ ±1

Spur(M) = λ1+λ2+λ3 ===> λ1=1,λ2=1,λ3=-1

M^2 = id ===>

M M x = x

Answer 2

Hallo

a. in Matrix und Vektor die Zahlen eintragen, dann Mn ausrechnen

dann v finden mit  n*v=0, dann Mv bilden

b) vielleicht M mal Standardbasisvektor bilden und sehen was aus ihnen wird, oder überlegen, welche Bewegungen im R^3 du kennst.

c) Wie man Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt sollte bekannt sein

d) wenn du b hast, weisst du wie man die Bewegung rückgängig macht.

lul

Comments

Hi danke, Ich verstehe leicht was du meinst, aber hätte lieber die Lösungswege noch gesehen. Habe nirgendwo ähnliche Aufgaben gesehen. Möchte es richtig lernen & nicht mit meinem falschen Ergebnissen.

LG

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Hallo

Dann löse es und bitte um Korrektur! Für uns wäre das ja viel Schreibarbeit, die kannst du ja erst mal leisten.

lul

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a. in Matrix und Vektor die Zahlen eintragen, dann Mn ausrechnen

Wenn man es kompliziert haben will, kann man das so machen.
Sonst ist es keineswegs viel Schreibarbeit sondern ein Einzeiler.

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M*n= - 1,75

         -5,6569

         -3.8284

V= -0.88

    -4

  -2.71

Eigenwerte

Lamda 1= -6,022

Lamda 2 = -0.475

Lamda 3= 0,997

Denke ich habe vieles falsch ausgerechnet