Zeigen Sie: Isomorphismus einer Verknüpfung

Question

Aufgabe:

Es seien K-Vektorräume V , W und U gegeben. Zeigen Sie:
(a) Sind f : V → W und g : U → V Isomorphismen, so ist f ◦ g : U → W ebenfalls ein
Isomorphismus.

Problem/Ansatz:

eigentlich gar nicht so kompliziert, bloß beim googlen, sind mir widersprüche aufgefallen und ich hoffe jemand kann sie mit erklären

also damit etwas ein Isomorphismus ist, muss es ja bijektiv sein, aber auf wikipedia steht unter anderem, dass AUCH ein homorphismus sein muss, was halt hier kein sinn ergibt, da V W und U keine Gruppen, bzw Mengen mit Verknüpfungen ja sind, muss ich das auch beweisen, oder ist das kein wirklicher isomorphismus sondern es sind abgebildete K-Vektorräume, die bijektiv sind, also muss ich f und g nur als bijektiv definieren, und dann per beweis zeigen, dass diese zwei bijektiven Abbildungen verknüpft eine verknüpfte bijektive Abbildung ergeben

Comments

Die Homomorphismen in der Kategorie der Vektorräume nennt man auch lineare Abbildungen.

Ein Isomorphismus von Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung. Linear bedeutet hierbei, dass die Abbildung

φ(λv+w)= λφ(v)+φ(w)

für alle Skalare λ und Vektoren v, w erfüllt.

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kannst du mir kurz sagen, du hast ja allgemein v und w benutzt, für welche Vektorräume hast du definiert?

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Die Vektoren müssen natürlich aus dem Vektorraum kommen auf dem die lineare Abbildung definiert ist.

Answer 1

Der Widerspruch liegt in der Ungenauigkeit dee Sprache.

Ein Isomorphismus ist ein Homomorphismus der einen Umkehrhomomorphismus besitzt.

Was ist ein Homomorphismus?

Im engeren Sinn ist ein (Gruppen-)Homomorphismus eine Abbildung zwischen Gruppe sodass f(gh) = f(g) f(h)

Im weiteren Sinne ist ein Homomorphismus (im Sinne der Kategorientheorie) ein Element der Menge Hom(U,V)

Im Fall von Vektorräumen ist Hom(U,V) die Menge der linearen Abbildung.

Das heißt ein Homomorphismus von Vektorräumen ist eine lineare Abbildung

Ein Homomorphismus zwischen topologischen Räumen ist eine Stetige Funktion

Ein Homomorphismus zwischen Mengen ist eine Funktion.