Berechne den maximalen Gewinn je ME und der Gesamtgewinn bei dieser Produktionsmenge

Question

Aufgabe:

Die Gesamtkostenfunktion K und die Erlösfunktion E sind gegeben durch
K(x) = 0,1x3 - 7x2 + 220x + 800 und E(x) = 250x. Die Kapazitätsgrenze liegt bei 80 ME.

Die Produktionsmenge, bei welcher der Gewinn je ME am größten ist, liegt bei ca. 38 ME.
Bestimmen Sie die Produktionsmenge näherungsweise auf eine Dezimale gerundet.
Begründen Sie Ihre Vorgehensweise.Bestimmen Sie den maximalen Gewinn je ME und der Gesamtgewinn bei dieser Produktionsmenge.
Vergleichen Sie mit dem maximal möglichen Gewinn.

Answer 1

Bestimmen Sie die Produktionsmenge näherungsweise auf eine Dezimale gerundet.

G(x) = 250·x - (0.1·x^3 - 7·x^2 + 220·x + 800)

G(x) = - 0.1·x^3 + 7·x^2 + 30·x - 800

g(x) = G(x) / x = - 0.1·x^2 + 7·x + 30 - 800/x

g'(x) = - x/5 + 800/x^2 + 7 = 0 --> x = 37.80 ME

Bestimmen Sie den maximalen Gewinn je ME und der Gesamtgewinn bei dieser Produktionsmenge.

g(37.80) = - 0.1·(37.80)^2 + 7·(37.80) + 30 - 800/(37.80) = 130.6 GE/ME

Gesamtgewinn

37.80 * 130.6 = 4936.68 GE

Vergleichen Sie mit dem maximal möglichen Gewinn.

G(x) = - 0.1·x^3 + 7·x^2 + 30·x - 800

G'(x) = - 0.3·x^2 + 14·x + 30 = 0 --> x = 48.72 ME

G(48.72) = - 0.1·(48.72)^3 + 7·(48.72)^2 + 30·(48.72) - 800 = 5713 GE

Der Gesamtgewinn ist höher, wenn man den Gesamtgewinn maximiert, anstatt den Gesamtgewinn pro Stück zu maximieren.