maximalen Gesamtgewinn ausrechnen

Question

Aufgabe:

Die in dieser Aufgabe geforderten Deutungen bilden die interpretative Basis einer Sensitivitätsanalyse im Umfeld einer linearen Optimierung. Interpretieren Sie die Ansätze und die Ergebnisse aus Aufgabe 16 im Kontext der folgenden Fragestellung:

Die Chow-Down-Hundefutter-AG produziert zwei Arten Hundefutter, die Marken Bau-Wau und Wuff-Wuff. Beide bestehen aus einer Mischung von Lamm-, Fisch- und Rindfleisch. Sie unterscheiden sich lediglich im Mischungsverhältnis dieser Zutaten \( ^{3} \).

Die Tabelle

Zutat	Verfügbar	Pro Packung
		Bau-Wau	Wuff-Wuff
Lamm	1400 [Pfund]	4 [Pfund]	4 [Pfund]
Fisch	1800 [Pfund]	6 [Pfund]	3 [Pfund]
Rind	1800 [Pfund]	2 [Pfund]	6 [Pfund]

enthält die Angaben, wieviel von jedem Rohstoff insgesamt vorhanden ist und welche Mengen dieser Rohstoffe für eine Packung der beiden Marken jeweils benötigt werden. Die Firma erzielt einen Gewinn von 12 Franken auf jede Packung Bau-Wau und einen Gewinn von 8 Franken auf jede Packung Wuff-Wuff. Bei welchen Produktionszahlen der beiden Marken ergibt sich der maximale Gesamtgewinn?

Beachten Sie hierbei, dass im Gewinnoptimum Lamm und Fisch die aktiven Restriktionen darstellen.

Mein Ansatz:

Ich hab 3 Ungleichungen aufgestellt und mehr ist mir dazu auch nicht eingefallen.

x = Lamm y= Fisch z= Rind

4x1 + 4x2 ≤ 1400
6y1 + 3y2 ≤ 1800
2z1 + 6z2 ≤ 1800

Variablen mit 1 sind die Zutaten für das Produkt Bau-Wau und die mit 2 sind für das Produkt Wuff-Wuff
Ich denke das die Produktion von Bau Wau rentabler ist, da genau eine Zutate weniger gebraucht wird und 4 Franken mehr Gewinn macht als das andere Produkt

Answer 1

meine Lösung

x : Anzahl des Hundefutters 1
y : Anzahl des Hundefutters 2

x * ( 4 + 6 + 2 )
y * ( 4 + 3 + 6 )

4 * x + 4 * y ≤ 1400
6 * x + 3 * y ≤ 1800
2 * x + 6 * y ≤ 1800

umgeformt

y ≤ 350 - x
y ≤ 600 - 2 * x
y ≤ 300 - 1/3 * x

Der Graph

Die Kanditaten für ein mögliches Maximum wären die Schnittpunkte der
Geraden oder die Schnittpunkte mit den Achsen.
  Den Berechungsdurchgang für die Schnittpunkte führe ich nicht hier an.

Es ergeben sich

x = 0      | y = 300
  x = 75    | y = 275
  x = 250  | y = 100
  x = 300  | y = 0

x * 12 + y * 8 =  Gewinn
  0 * 12 +  300 * 8 = 2400
  75 * 12 + 275 * 12 = 3100
  250 * 12 + 100 * 8 = 3800
  300 * 12 + 0 * 8 = 3600

250 Hundefutter 1 und 100 Hundefutter 2 müßte die Lösung sein.

mfg Georg

Comments

Und was ist mit den Schnittpunkten x= 600 und y=0 und x=350 und y=0

Werden die ganz einfach weggelassen den du hast gesagt das Maximum wären die Schnittpunkte mit den Achsen bzw. die Schnittpunkte der Geraden

Danke für die beiden Antworten am Rande erwähnt :)

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Bei Georg könnte man noch die Isogewinngerade einzeichnen. Das ist eine Gerade die für verschiedene Verkaufsmengen von x und y den gleichen Gewinn liefert. Durch parallelverschiebung dieser Geraden bekommt man den höchst möglichen Gewinn.

Das eine wär die Graphische Lösung die oft zuanfang in der Schule angewendet wird. Das Simplexverfahren von mir ist eher im Studium oder im Wirtschaftsabi nötig.

Was ihr genau anwenden sollt wissen wir natürlich nicht. Spätestens bei noch einer Sorte Hundefutter bekommt man aber mit der grafischen Lösung Probleme.

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Danke aufjedenfall für eure Mühe - wirklich vielen vielen Dank :))

Ich fang demnächst mit dem Studium an und das wären die Arbeitsmaterialien, die ich mir anschauen sollte. Ich versuch grad über youtube das Simplex Verfahren zu verstehen.

Aber warum hat Georg (0/600) und (0/350) nicht in die Gleichung 12x * 8y= Gewinn eingefügt - er hat weiter oben gesagt, dass der maximale Gewinn bei den Schnittpunkten mit den Achsen bzw. bei den Schnittpunkten der Geraden liegt.


Lg

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(0|600) braucht man nicht einsetzen, da dort die anderen Bedingungen nicht erfüllt sind.

Man braucht sich nur die Fläche um den Ursprung anschauen die direkt von Geraden begrenzt wird.

Es geht also nur im die Eckpunkte folgender Fläche

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Ok dann ist für mich die Aufgabe erledigt :)

Dankeschön das ihr euch beide die Zeit genommen habt für meine Aufgabe

Lg

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1.) Dies ist erst meine zweite Aufgabe bezüglich " linearer
Optimierung " ( hoffentlich heißt das so ) die ich überhaupt
rechne.  Die erste war vor ca 1 Monat hier im Forum.

2.) 1.Kommentar von Peter 94.
Die Lösung muß im Bereich unterhalb aller 3 Geraden
liegen. Die Lösungen x = 350, x = 600 usw scheiden von
daher aus.

3.) Kommentar Mathecoach.
Das Verfahren die Gewinnfunktion x * 12 und y * 8 =
irgendwas als Gerade einzuzeichnen und dann im
Raum der Lösungsmenge maximal parallel zu verschieben
bis der größtmögliche y-Achsenabschnitt erreicht ist
wäre die grafische Lösung gewesen. Ich wollte aber
rechnen.
   Deine Lösung mit dem Simplexverfahreren gefällt
mir eh besser ( habe ich allerdings nie gelernt ).
Da ich von Natur aus faul bin sind mir weniger arbeits-
aufwendige Verfahren lieber.

4.) 2.Kommentar Peter
Ist mit meinem Punkt 2 beantwortet worden.

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Ja. Das ganze gehört zur Linearen Optimierung. Damit dürfen sich meine Wirtschaftsstudenten rumschlagen die ich betreue.

Das schöne hier ist das man die Schnittpunkte recht einfach sehen kann. Wenn man das berechnet ist das nicht ganz so schön. Da kommt man leicht durcheinander.

Trotzdem gefällt mir gerade am Anfang des Studiums die Grafische Lösung besser und ich halte eigentlich auch imemr dazu an, selbst wenn man das über den Simplex löst sich das zu Anfang meist auch grafisch zu visualisieren. Damit man eine Ahnung hat was man sich da ausrechnet und ob die Lösung die man am Ende raus bekommt auch wirklich richtig sein kann.

Leider gibt es viele die Fehler im Simplex machen und den nich mal merken weil sie keine Ahnung von dem haben was sie ausrechnen wollen.

Und natürlich machen die wenigsten am Ende dann auch eine Probe.

Answer 2

maximiere F = 12 · x₁ + 8 · x₂

_{unter den Nebenbedingungen}

1	4 · x1 + 4 · x2	≤  1400
2	6 · x1 + 3 · x2	≤  1800
3	2 · x1 + 6 · x2	≤  1800

Stell das Simplex Tableau auf und rechne es durch

Basis	x1	x2	x3	x4	x5	b
x3	4	4	1	0	0	1400
x4	6	3	0	1	0	1800
x5	2	6	0	0	1	1800
F	-12	-8	0	0	0

--> https://www.youtube.com/results?search_query=simplex 

Lösung: Optimale Lösung: x₁ = 250  x₂ = 100  

Answer 3

Man kann auch das duale Problem lösen: Möglichst billig die drei Zutaten einkaufen, und dabei denselben Gewinn erzielen.

Zielfunktion: 1400a + 1800b + 1800c minimieren

Nebenbedingungen:

4a + 6b + 2c ≥ 8

4a + 3b + 6c ≥ 12