Basis von U bestimmen und Basis erweitern

Question

(b) \( \operatorname{Im} \mathbb{R} \)-Vektorraum \( V=\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) \) sei der Unterraum
\(U=\left\{p \in V: \int \limits_{-1}^{1} p(x) \mathrm{d} x=0\right\}\)
gegeben (die Unterraumeigenschaften müssen Sie nicht nachweisen).
i) Bestimmen Sie eine Basis von \( U \).
ii) Erweitern Sie die Basis von \( U \) zu einer Basis von \( V \).

Answer 1

\( V=\mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) \)

Ich vermute das sollen die Polynome vom Grad 4 oder kleiner sein.

Jedes dieser Polynome lässt sich schreiben als

        \(p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\).

i) Bestimmen Sie eine Basis von \( U \).

Löse die Gleichung

        \(\int\limits_{-1}^1 p(x)\,\mathrm{d}x = 0\).

Dann bekommst du zum Beispiel

        \(p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx -\frac{1}{5}a -\frac{1}{3}c\).

Das kann umgeformt werden zu

      \(p(x) = a(x^4-\frac{1}{5}) + bx^3 + c(x^2-\frac{1}{3}) + dx\).

Comments

Ist nicht z.B. \(\int_{-1}^1x^2dx=\frac{2}{3}\)?

Answer 2

Aloha :)

Wir wählen ein Polynom \(p\in\mathbb P_4(\mathbb R)\) beliebig aus, etwa$$p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=\underbrace{\begin{pmatrix}x^4 & x^3 & x^2 & x & 1\end{pmatrix}}_{=S}\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\\e\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\\e\end{pmatrix}_{\!\!S}$$und fordern die Zugehörigkeit zur Menge U, also die Erfüllung der Bedingung:$$0\stackrel!=\int\limits_{-1}^1p(x)\,dx=\left[\frac a5x^5+\frac b4x^4+\frac c3x^3+\frac d2x^2+ex\right]_{-1}^1$$$$\phantom0=\left(\frac a5+\frac b4+\frac c3+\frac d2+e\right)-\left(-\frac a5+\frac b4-\frac c3+\frac d2-e\right)=2\left(\frac a5+\frac c3+e\right)$$

Als Bedingung für die Mitgliedschaft unseres Polynoms zu \(U\) erhalten wir also:$$0=2\left(\frac a5+\frac c3+e\right)\quad\implies\quad e=-\frac a5-\frac c3$$

Für die Polynome aus \(U\) erhalten wir daher folgende Darstellung:$$p(x)=\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\\-\frac a5-\frac c3\end{pmatrix}_{\!\!S}=a\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\-\frac15\end{pmatrix}_{\!\!S}+b\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!S}+c\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\-\frac 13\end{pmatrix}_{\!\!S}+d\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\!S}$$$$p(x)=\frac a5\begin{pmatrix}5\\0\\0\\0\\-1\end{pmatrix}_{\!\!S}+b\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}_{\!\!S}+\frac c3\begin{pmatrix}0\\0\\3\\0\\-1\end{pmatrix}_{\!\!S}+d\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}_{\!\!S}$$

Diese vier resultierenden Vektoren bilden eine Basis von \(U\). Wir schreiben sie mit Polynomen auf:$$\operatorname{Basis}(U)=(5x^4-1\big|x^3\big|3x^3-1\big|x)$$

Wir stellen fest, dass wir die ersten \(4\) Komponeten durch geeignete Wahl von \(a,b,c,d\) auf beliebige Werte einstellen können, dass dann aber die \(5\)-te Komponente fest vorgegeben ist. Damit aus der genannten Basis von \(U\) eine Basis von \(V\) wird, müssen wir die letzte Komponente noch frei wählbar machen. Zu diesem Zweck fügen wir der Basis das Basispolynom \(p_b(x)=1\) hinzu:$$\operatorname{Basis}(V)=(5x^4-1\big|x^3\big|3x^3-1\big|x\big|\pink1)$$