Aufgabe:
Sei \( K \) ein Körper und \( n \in \mathbb{N}_{0} \). Definieren \( V_{n}:=\operatorname{Abb}(\{0,1, \ldots, n\}, K \) ) (nach Blatt 5 , Aufgabe 4 ist \( V_{n} \) ein \( K \)-Vektorraum mit der Nullabbildung als neutralem Element). Für \( j \in \mathbb{N} \) schreiben wir im Folgenden \( j_{K} \) für die \( j \)-fache Summe \( 1_{K}+\ldots+1_{K} \) des Einselements von \( K \).
(a) Betrachten Sie die Abbildung \( \partial: V_{n+1} \rightarrow V_{n} \), wobei für \( f \in V_{n+1} \) die Abbildung \( \partial(f) \) gegeben ist durch
\( \{0,1, \ldots, n\} \rightarrow K, \quad i \mapsto(i+1)_{K} \cdot f(i+1) \)
Zeigen Sie, dass \( \partial \) eine \( K \)-lineare Abbildung ist.
(b) Es habe \( K \) nun die Eigenschaft, dass \( i_{K} \neq 0_{K} \) für alle \( i \leq n+1 \). Berechnen Sie \( \operatorname{Kern}(\partial) \). Hinweis: An einer Stelle könnte Ihnen Blatt 2, Aufgabe 4 (a) weiterhelfen.
Kann mir wer bitte zeigen, wie ich an die a und b herangehe. Danke
