Ich beziehen mich bei der Antwort nur auf die Reihe in der Box.
Im weiteren benutze ich die mathematische Tatsache, dass
$$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac 1n\right)^n = \frac 1e$$
ist, wobei e die Eulersche Zahl ist.
(a) Bedingte Konvergenz:
Laut Leibniz-Kriterium genügt es zu zeigen, dass \(a_n = \frac{n^{n-2}}{(n-1)^{n-1}}\) eine monoton fallende Nullfolge ist. Dazu betrachte
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n-1}}{n^{n}} \cdot \frac{ (n-1)^{n-1} }{ n^{n-2} } = \frac{(n^2-1)^{n-1}}{n^{2n-2}}< 1 \Rightarrow \text{ monoton fallend}$$
Außerdem:
$$a_n = \frac{n^{n-2}}{(n-1)^{n-1}} =\frac{n-1}{n^2} \cdot \frac{n^n}{(n-1)^n}=\frac{n-1}{n^2}\cdot\frac{1}{\left(1-\frac 1n\right)^n}\stackrel{n\to\infty}{\rightarrow}0\cdot \frac 1{\frac 1e} = 0$$
Somit ist die Reihe konvergent.
(b) Absolute Konvergenz:
Laut vorhergehender Rechnung können wir schreiben:
$$a_n = \frac 1n \frac{n-1}{n}\cdot\frac{1}{\left(1-\frac 1n\right)^n}$$
Vergleiche \(a_n\) nun zum Beipspiel mit \(b_n = \frac 1n\) per Grenzwertkriterium:
$$\frac{a_n}{b_n} = \frac{n-1}{n}\cdot\frac{1}{\left(1-\frac 1n\right)^n}\stackrel{n\to\infty}{\rightarrow}1\cdot e >0$$
Da \(\sum_{n=2}^{\infty}\frac 1n = \infty\), folgt, dass die obige Reihe NICHT absolut konvergent ist.
