Könnte jemand helfen und zeigen wie man (1-cos(x))^2 + sin^2(x) zu 2sin(x/2) umformen kann?

Question

Hallo, kann mir jemand helfen und zeigen wie man (1-cos(x))^2 + sin^2(x) zu 2sin(x/2) umformen kann? Wenn ich es umforme kommt bei mir immer sqrt(2-2cos(x)) raus.

Danke im Voraus.

Comments

Löse die Klammer auf! Binomische Formel !

cos^2 x+sin^2 x = 1

Answer 1

Das geht nicht. Siehe hier: https://www.wolframalpha.com/input?i=%281-cos%28x%29%29%5E2%2Bsin%5E2%28x%29+%3D+2sin%28x%2F2%29

Es gilt aber \((1-\cos x)^2 + \sin^2 x = 4\sin^2 \frac x2\).

Um das zu sehen, kannst du folgenden Zusammenhang benutzen:

$$\cos x = \cos \left( \frac x2 + \frac x2\right) = \underbrace{\cos^2 \frac x2}_{= 1- \sin^2 \frac x2} - \sin^2 \frac x2 = 1-2\sin ^2 \frac x2$$

Umsstellen ergibt

$$ 2\sin^2 \frac x2= 1- \cos x \quad (1)$$

Nun zur Ausgangsgleichung:

$$\begin{array}{rcl} (1-\cos x)^2 + \sin^2 x & = & 1 - 2\cos x + \underbrace{\cos^2 x + \sin ^2 x}_{=1} \\ & = & 2(1-\cos x) \stackrel{(1)}{=} 4\sin^2 \frac x2\end{array}$$

Comments

Danke, aber wie kommt man denn auf 4sin^2(x/2) bzw wie muss man das umformen? Oder ist das einfach so definiert?

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Ich ergänze es in der Antwort, so lange ich noch editieren kann. :-)

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vielen dank.