Äquivalenzrelation auf M

Question

Aufgabe:

Es sei M = {a, b, c, d}. Definieren Sie eine Äquivalenzrelation auf M, für die a äquivalent zu b und b äquivalent zu c gilt, aber a nicht äquivalent zu d ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, wie man Äquivalenz zeigt, aber ich kann nicht herausfinden, wie ich ein Beispiel finden kann, das die Bedingung erfüllt.

Danke für jede Hilfe!

Answer 1

Überlege zunächst, welche Äquivalenzklassen es gibt, also diejenigen Teilmengen von M, in denen jeweils alle zueinander äquivalenten Elemente sind.

In deinem Fall sind das die Teilmengen \(\{a,b,c\}\) und \(\{d\}\).

Die Äquivalenzrelation ergibt sich nun auf natürliche Weise:

Zwei (nicht notwendig) verschiedene Elemente \(m,n \in M\) sind äquivalent genau dann, wenn beide Elemente in \(\{a,b,c\} \) oder beide Elemente in \(\{d\}\) sind. Oder formaler:

$$m\sim n \Leftrightarrow m,n \in \{a,b,c\} \text{ oder } m,n \in\{d\} (\text{also } m=n=d)$$

Als Teilmenge vom \(M\times M\) ist die Äquivalenzrelation gegeben durch

$$\{(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c), (d,d)\}$$