Es sei R eine Äquivalenzrelation auf M

Question

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Aufgabe 2-5 3P
Es sei \( R \) eine Äquivalenzrelation auf einer nichtleeren Menge \( X \). Man zeige, dass dann für beliebige \( x, y \in X \) entweder \( [x]=[y] \) oder \( [x] \cap[y]=\emptyset \) gilt.

Answer 1

Seien x,y ∈ X. Die gibt es, da X nicht leer.

1. Fall x=y .  Dann ist offenbar auch \( [x]=[y] \).

2. Fall x≠y  und  \( [x] \ne [y] \). Angenommen es gäbe ein z∈X

mit \( z \in [x] \)  und \( z \in [y] \)  .

==>   (z,x) ∈ R   und  (z,y)∈ R

Wegen Symmetrie und Transitivität von R

==>   (x,y)∈R.

==>   \( [x]  =  [y] \) . Widerspruch !

Comments

Hallo,

Warum (x,y)∈R => [x]=[y] ?