Lösungen von Funktionen zeigen

Question

Aufgabe:

Aufgabe 5 (2 · 4 Punkte). Zeigen Sie:
(a) Die Funktion f nimmt den Wert 2 an, wobei f : R → R, x → (x² − 6x + 9)*sin(x² + x) + x*cos(x − 3).
Hinweis: Für welche x ∈ R können Sie mit unserem bisherigen Wissen überhaupt sin(x) und cos(x) bestimmen?
(b) Die Gleichung exp(−2 − 2x) = 1/2 besitzt eine Lösung x ∈ [−1, 0]

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

wie geht man bei Aufgaben mit diesem Muster vor?

Bei (a) hatte ich mithilfe des Hinweises überlegt, ob ich die möglichen x vielleicht einschränken kann. Wir wissen ja die Werte für Sinus und Kosinus bei jeweils 1 und 0, jedoch habe ich für cos und sin keinen übereinstimmenden wert für x gefunden, die die Terme jeweils zu 1 oder 0 machen würden.

Bei (b) habe ich überlegt, mithilfe zwei Fällen zu zeigen, dass die Lösung x: (1) nicht kleiner als -1 und (2) nicht größer als 0 sein kann. Jedoch weiß ich nicht, wie man dass formal ordentlich zeigen kann. Kann mir jemand weiterhelfen?

Comments

Tipp zu a)  Es ist f(0) = 0 und f(3) = 3.

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Stimmt ja, so weit hatte ich nicht gedacht. Ich suche ja das x, für welches die Funktion den Wert 2 annimmt. Die Nullstellen von dem Term ist doppelt die 3 daher ist der vordere Term Null für x=0 und x=3 und das Gleiche gilt für den hinteren Term. Aber was fange ich jetzt damit an?

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Du sollst nur zeigen, dass ein x₀ mit f(x₀) = 2 existiert. Es ist nicht notwendig, ein solches explizit anzugeben. Wende statt dessen den Zwischenwertsatz an.

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Vielen Dank! Löst man die (b) auch mithilfe des Zwischenwertsatzes, indem man zeigt dass f(-1) > 1/2 > f(0)? Leider ist hier f(0) < 1/2 nicht so einfach zu zeigen ohne Taschenrechner. Möglicherweise mit einer Abschätzung oder so?

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Ja, (b) funktioniert ähnlich. Bekanntlich ist e > 2, also e² > 4. Damit ist f(0) = e^-2 < 1/4 < 1/2.

Answer 1

Aloha :)

zu a)\(\quad f(x)=(x^2-6x+9)\cdot\sin(x^2+x)+x\cdot\cos(x-3)\stackrel?=2\)

Es ist \(f(0)=0\) und \(f(3)=3\).

Da die Funktion stetig ist, wird nach dem Zwischenwertsatz im Intervall \(x\in[0;3]\) jeder Funktionswert zwischen \(f(0)=0\) und \(f(3)=3\) angenommen.

Also gibt es ein \(x_0\in(0;3)\) mit \(f(x_0)=2\).

zu b)\(\quad f(x)=e^{-2-2x}\stackrel?=\frac12\)

$$f(-1)=1\;;\;f(0)=\frac{1}{e^2}<\frac12\;;\;\text{Funktion stetig}\stackrel{\text{ZWS}}{\implies}$$$$\text{Es gibt ein }x_0\in(-1;0)\text{ mit }f(x_0)=\frac12$$

Answer 2

zu a) f nimmt für x≈ - 0,176 und für x≈0,2387 den Wert 2 an sowie an vielen weiteren Stellen.

zu b) Setze x= -1 und bestimme e⁰.

Comments

Meinst du das allen Ernstes?

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Nein, wurde nachgebessert.

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Wo denn\(\)?

Answer 3

So könnte es gehen:

\( e^{−2 − 2x}=\frac{1}{2} \) besitzt eine Lösung x ∈ [−1, 0]

\( e^{−2 − 2x}=\frac{1}{2} \)

\( e^{−(2+2x)}=\frac{1}{2} \)

\( \frac{1}{ e^{2+2x}}=\frac{1}{2} \)

\(e^{2+2x}=2   | ln \)    mit   \( ln e=1  \)

\(2x=ln 2-2\)

\(x=\frac{1}{2}\cdot ln 2-1\)

\(x= ln (2^{\frac{1}{2}})-1\)

Nun ist \(1< \sqrt{2}<2 \)  →  \(ln1< ln\sqrt{2}<ln2 \)  →  \(0< ln\sqrt{2}<ln2 \)  →\(x ∈ [−1, 0]\)

Comments

Leider dürfen wir den ln nicht verwenden :(