Zeigen Sie, dass 0 2 für alle n ∈ ℕ ist.

Question

Aufgabe:

Aufgabe 1
\( a_{1}=\sqrt{2}, \quad a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}} \quad(n \in \mathbb{N}) . \)
1. Zeigen Sie, dass \( 0<a_{n}<2 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) ist.
2. Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) streng monoton wachsend ist.
3. Folgern Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Answer 1

1. mit vollst. Induktion und beim

Induktionsschritt verwende

         \( 0<a_{n}<2 \)

==>   \( 2<2+a_{n}<4 \)  Wurzel !

==>  \( \sqrt{2}<\sqrt{2+a_{n}}<2 \)

==>  \( \sqrt{2}<a_{n+1}<2 \)

==>       \( 0<a_{n+1}<2 \)

2. Du musst zeigen \(  a_{n+1} \gt a_n \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)

<=> \( \sqrt{2+a_{n}}  \gt a_n  \)

Das ist erfüllt, wenn gilt

          \( 2+a_{n}  \gt a_n^2  \)

<=>                 \( 2  \gt a_n^2 -a_n \)

<=>                \( 2  \gt a_n ( a_n - 1 )\) #

Wegen \( a_{n}<2 \) gilt \( a_{n}-1<1\).

Bei # steht also rechts ein Produkt aus einer Zahl kleiner 2

und einer kleiner 1, das ist also kleiner 2.         q.e.d.

3. Streng monoton wachsende Folge, die nach oben beschränkt ist,

konvergiert. Wegen der Rekursion gilt für den Grenzwert g

   \( g=\sqrt{2+g} \) ==>  g^2 = 2+g ==>  g^2 - g - 2 = 0

pq-Formel gibt (da g ja wegen 1. nicht negativ sein kann.) g=2.