Zeigen Sie: Ist f ∈ End V eine Projektion, so gilt V = Kern(f) + Bild(f)

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Ein Endomorphismus f : V → V heißt Projektion,
wenn gilt: f ◦ f = f. Zeigen Sie: Ist f ∈ End V eine Projektion, so gilt V = Kern(f) + Bild(f)
und Kern(f) ∩ Bild(f) = {0}.

Problem/Ansatz:

Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass Bild(idV −f) ⊆ Kern(f).

es ich habs gaaar nicht hinbekommen

Comments

Fang doch mal mit dem Hinweis an. Die Elemente in Bild(idV - f) haben dir Form

v - f(v) für v in V. Warum liegt das im Kern von f? Setze es mal in f ein:

f(v-f(v)) = ...

Vereinfache selbst!

Answer 1

Zu allererst kannst du jedes \( x \in V\) schreiben als

$$x = f(x) + (x- f(x))$$

\(f(x)\) ist offensichtlich in Bild(f).

Außerdem gilt

$$f(x- f(x)) = f(x) - f^2(x) \stackrel{f^2=f}{=} 0$$

Somit ist \(x- f(x)\) in Kern(f).

Fehlt nur noch N := Bild(f) \(\cap\) Kern(f) = {0}:

Sei also \(v\in N\), das heißt insbesondere, \(v = f(x)\) für irgendein \(x\in V\) und außerdem \(f(v) = 0\). Damit gilt

$$0=f(v) = f^2(x) = f(x) = v$$

Fertig.