Wieso muss diese Reihe absolut konvergent sein?

Question

Aufgabe:

wenn \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{an*y^{n}} \) konvergent

dann \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n*an*x^{n-1}} \) absolut konvergent zu zeigen

x Betrag kleiner y Betrag
Problem/Ansatz:

Majorantenkriterium

Umschreiben

Comments

Könntest du bitte noch einmal deine Angaben überprüfen?
Ich nehme an, dass \(an\) hier \(a_n\) bedeutet.

Im allgemeinen ist die Aussage falsch. Betrachte dazu die Potenzreihe für \(\ln(1+x)\) um Null an der Stelle \(x=1\).

Übrigens kann der Index für die zweite Reihe wohl nicht bei \(n=0\) beginnen.

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Ne Aufgabe passt, hab aber vergessen dass x Betrag kleiner y Betrag sein soll

Answer 1

Mit zum Beispiel dem Quotientenkriterium kannst du schnell zeigen, dass beide Reihen denselben Konvergenzradius r haben.

Im Inneren (-r,r) des Konvergenzintervalls ist eine Potenzreihe absolut konvergent.

Da die erste Reihe konvergent ist, kann y höchstens auf dem Rand des Konvergenzintervalls liegen: \(|y| \leq r\).

Da \(|x| < |y| \leq r\), liegt x im Inneren des Konvergenzintervalls und die zweite Reihe konvergiert somit absolut.

Comments

Und wenn man die erste als Majorante verwendet geht des auch irgendwie?

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Du kannst die erste Reihe nur als Majorante benutzen, wenn sie nur nichtnegative Glieder hat. Das ist aber nicht vorausgesetzt.

Der Witz an der Aussage ist aber, dass die bedingte Konvergenz der ersten Reihe ausreicht, um die absolute Konvergenz der zweiten Reihe zu bekommen.

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Ich sollte es auf jeden Falls mittels Majorantenkriterium zeigen

Dann kann ich doch einbauen, dass x/y kleiner 1 sein muss und die erste Folge beschränkt ist

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Dann gib derjenigen Person, die das von dir verlangt hat, das folgende Beispiel:

$$\ln (1+y) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}y^n \text{ für } -1 <y\leq 1$$
An der Stelle \(y= 1\) ist das eine bedingt konvergente Reihe (also nicht absolut konvergente Reihe). Also kann sie nicht als Majorante dienen (denn ihre absolute Summe ist unendlich).
Aber:

$$\frac 1{1+x}= \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^{n-1} \text{ konvergiert absolut für } -1 < x < 1$$

aus den oben dargelegten Gründen.

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Und wenn man davon absieht?

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Es gibt beliebig viele Beispiele wie das obige. Ich hab nur ein sehr prägnantes ausgewählt.

Möglicherweise war der Aufgabensteller sich des oben dargestellten Phänomens nicht bewusst.