Bestimme Real-, Imaginärteil, Betrag, Argument und die Polardarstellung!

Question

Hallo!

Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung

Aufgabe: Bestimme Real-, Imaginärteil, Betrag, Argument und die Polardarstellung!

Problem/Ansatz:

Ich hab da mal den Ansatz formuliert, aber kann das so stimmen? Wie muss ich da genau vorgehen?

(1)
\( \begin{array}{l} \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)-i \cdot \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \\ |z|=\sqrt{\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^{2}+\left(\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^{2}}=\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \\ \arg (z)=-\arccos \left(\frac{\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)}\right) \end{array} \)

Comments

Wie hast Du denn die Wurzelaufgelöst??

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Mathhilf, sorry, hab deinen Kommentar erst jetzt gesehen, hab ihn davor gar nicht bemerkt.

Also ich hab die Wurzel falsch aufgelöst.

Answer 1

Hallo,

vielleicht hilft ja:

|z|=1

π/6 = 30°

sin30°=0,5

cos30°=0,5•√3

Comments

Warum ist z=1 ? Das check' ich noch nicht so

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Daher nochmal die Frage: Nach welcher Regel hast Du die Wurzel bei der Berechnung des Betrags behandelt??

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Kommt z=1 von cos^2(x)* sin^2(x) = 1 und deswegen ist auch cos^2(π/6) + sin^2(π/6)^2 =1 ? Stimmt der gedankengang?

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Ja, das stimmt.

Du scheinst etwas gemacht zu haben, wie \(\sqrt{a^2+b^2}=a+b\). Du solltest Dir 5 Minuten Zeit nehmen, Dir so klar zu machen, dass das falsch ist, dass Dir das nie mehr passiert.

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Kommt z=1 von cos^2(x)* sin^2(x) = 1

Nein.

cos^2(x) + sin^2(x)=1

Deswegen ist |z|=1. Beachte den Betrag!

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Ohje

Ja, das stimmt.

Habe das erste Multiplikationszeichen in vorauseilender Hoffnung für ein + genommen.

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Ich wollte auch plus hinschreiben, habe aber ausversehen ein mal hingeschrieben, sry.

Also jetzt ist mir klar, von wo die 1 kommt. Und ja, das war wirklich Unsinn was ich davor gerechnet hatte.

Und wie geht es dann weiter? Ich muss ja arg(z) berechnen. Soll ich dann so vorgehen? arg(z)= -arccos ( cos (π/6) / 1 ) ?

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Durch Hingucken: arg(z) = - π/6.

cos(x)=cos(-x)

- sin(x) = sin(-x)

:-)

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Zeichne Dir die Zahl z in die "Gaußsche Ebene" ein. Dann solltest du erkennen, dass der Winkel \(-\pi/6\) ist. Du solltest erkennen, dass der Winkel in dieser Darstellung unmittelbar gegeben ist und nicht "berechnet" werden braucht. Siehe auch die erste Antwort.

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Das versteh‘ ich noch nicht. Ich weiß nur ungefähr, dass cos(pi/6) zwischen pi und pi/2 liegt, also zwischen 0 und 90 °. Aber warum arg(z) = -π/6 ist, kann ich nicht nachvollziehen.

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Hallo,

die Polarform lautet

\(z = |z|\cdot e^{i\varphi}\)

und kann umgeformt werden zu

\(z = |z|\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi)\)

Das sieht doch schon fast so aus wie der gegebene Term.

\(\cos(\pi/6) - i\sin(\pi/6)\)

Nun stört nur noch das Minuszeichen.

Mit

cos(x)=cos(-x)

- sin(x) = sin(-x)

erhältst du \(\varphi=-\pi/6\).

Zu deinem Kommentar:

Das versteh‘ ich noch nicht. Ich weiß nur ungefähr, dass cos(pi/6) zwischen pi und pi/2 liegt, also zwischen 0 und 90 °.

cos(pi/6) liegt nicht zwischen pi und pi/2. Das ist Tüdelkram. :-)

Du weißt hoffentlich:

180°=π

Wenn du das durch 6 dividierst, erhältst du

30°=π/6

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Super, vielen vielen Dank! Ich rechne es schnell nach und melde mich erneut bei Fragen.