Aufgabe:
Sei \( E:(-\infty, 1] \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( E(x)=\int \limits_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-x t^{2}}{1-t^{2}}} d t \). Zeigen Sie:
(i) \( E \) ist auf \( (-\infty, 1] \) stetig.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass \( E \) stetig ist auf \( [-C, 1] \) für jedes \( C>0 \).
(ii) \( E \) ist auf \( (-\infty, 1) \) stetig differenzierbar. Berechnen Sie zudem die Ableitung von \( E \) im Nullpunkt.
(iii) \( E \) ist auf \( (-\infty, 1) \) streng monoton fallend.
Bemerkung: Man nennt \( E(x) \) ein elliptisches Integral 2. Art.
Problem/Ansatz:
1. Wie zeige ich denn Stetigkeit oder Differenzierbarkeit für Integrale? Löse ich dafür zunächst das unbestimmte Integral oder gibt es da eine bestimmte Methode?
2. Gibt es vielleicht eine Website wo für elliptische Integrale diese Beweise schon durchgeführt wurden?
Danke schonmal im Voraus für die Hilfe ^^
