Als erstes würde ich einen Satz zu der Ordnung schreiben, die ergibt sich ja aus der Ordnung von \(B\), nachdem die Vektoren in \(C\) entsprechend dieser angeordnet werden.
Daraufhin vielleicht so ein paar typische Klauseln für Beweise wie "Wir zeigen nun weiter, dass \(C\) eine Basis ist. Zeige zunächst lineare Unabhängigkeit der enthaltenen Vektoren." Dann einfach die Rechnung die zeigt, dass aus \(\lambda_1 \Phi(v_1)+\ldots+\lambda_n\Phi(v_n)=0\) folgt, dass \(\lambda_1=\ldots=\lambda_n=0\). Davor vielleicht noch ein Satz "Seien \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\)\in K\) beliebig.", sonst ist ja nicht klar, weshalb daraus lineare Unabhängigkeit folgt.
Danach vielleicht "Also sind \(\Phi(v_1),\ldots,\Phi(v_n)\) linear unabhängig. Wir zeigen nun weiter, dass \(C\) ein Erzeugendensystem ist. Sei hierfür \(w\in W\) beliebig."
Und dann eine Linearkombination von \(\Phi(v_1),\ldots,\Phi(v_n)\) bestimmen, die \(w\) ergibt.
Zuletzt abschließend ein Satz wie "Also ist \(C\) ein Erzeugendensystem von \(W\) und mit dem zuvor gezeigten insgesamt eine geordnete Basis von \(W\)."
Das ist jetzt natürlich nur, wie ich es machen würde, man kann es auch ganz anders formulieren, wichtig ist am Ende nur, dass die Logik dahinter stimmt. ;)
Als allgemeiner Typ für solche Aufgaben, der zumindest bei mir auf viele Aufgaben aus der linearen Algebra zugetroffen hat: Die Aufgabe erst einmal in kleinere, leichtere Aufgaben aufteilen und diese dann stringent Schritt für Schritt abarbeiten, wie hier zum Beispiel die Aussage, dass \(C\) eine geordnete Basis ist aufzuteilen in "Ordnung - lineare Unabhängigkeit - Erzeugendensystem" und diese dann nacheinander zeigen.
Das selbe geht zum Beispiel auch bei der Aufgabe "Zeige, dass \(\Phi\) ein Isomorphismus ist". Da zeigt man dann eben erst Additivität, dann Homogenität und zuletzt Bijektivität (natürlich ist jede andere Reihenfolge auch möglich, das war jetzt nur als Beispiel).
Dadurch werden erstmal komplex anmutende Aufgaben meist ein wenig leichter und außerdem gibt's mehr Punkte, wenn dann nur eine einzelne Eigenschaft wie lineare Unabhängigkeit fehlt und der Rest da ist. ;)
Und noch ein zweiter Tipp, der oft hilft: Wirklich überlegen, ob man alle Voraussetzungen verwendet hat. Insbesondere bei solchen Übungsaufgaben ist es zum Beispiel kein Zufall, dass \(\Phi\) nicht nur linear, sondern sogar ein Isomorphismus ist. Wenn man das im Beweis nicht verwendet oder irgendwo hängt, kann das auch oft ein Hinweis darauf sein, dass irgendetwas noch nicht ganz stimmt oder wie es weitergeht.
So, ich hoffe, die Antwort ist nicht zu lange, aber ich dachte, ich gebe vielleicht gleich zwei Tipps mit, die vielleicht bei zukünftigen Aufgaben helfen :)
