Injektivität etc beweisen

Question

Aufgabe:

Injektivität, surjektivität, bihektivität beweisen

Problem/Ansatz:

Hallo alle zusammen,
Meine Aufgabenstellung lautet wie folgt:
Prüfen Sie, welche der folgenden Audrücke Funktionen f: (-1,1) ->(-1,1) definieren und ob diese injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.
Folgende Audrücke sind gegeben:
F(x)=x-x2    F(x)=x^2+x/2

Nun weiß ich nicht wie ich vorgehen soll und bräuchte sehr dringend

Text erkannt:

FACHEEREICH MATHEMATIK
UND NATURWISSENSCMAFTEN
Übungsblatt 6
Hausaufgaben
Aufgabe 5 (8 Punkte)
Prüfen Sie, welche der folgenden Ausdrücke Funktionen \( f:(-1,1) \longrightarrow(-1,1) \) definieren und ob diese injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.
a) \( f(x)=x-x^{2} \)
b) \( f(x)=\frac{x^{2}+x}{2} \)
c) \( f(x)=\frac{x^{2}-2 x+1}{x} \)
Aufgabe 6 (8 Punkte)
Prüfen Sie auf Monotonie und Beschränktheit:
a) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(x)=x^{2}+1 \)
b) \( a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}, n \rightarrow a_{n}=\frac{2 n+1}{n^{2}} \)
c) \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto g(x)=\frac{x+1}{x^{2}+1} \)
d) \( b: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}, n \mapsto b_{n}=\frac{2 n+1}{n+2} \)

Text erkannt:

\( \times \mid \text { fn wS22/23 Mathematik 1 BTC: Öb } \times \text { Wof WS2022 Mathe } 1 \text { Blatt } 6 \text { (1).p } \)
\( \text { . }-+\infty \text { \& }+\text { \& }\left[A \mid A^{n}\right. \)
h_da
Hausaufgaben
Aufgabe 5 ( 8 Punkte)
Prüfen Sie, welche der folgenden Ausdrücke Funktionen \( f:(-1,1) \longrightarrow(-1,1) \) definieren und ob diese injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.
a) \( f(x)=x-x^{2} \)
b) \( f(x)=\frac{x^{2}+x}{2} \)
c) \( f(x)=\frac{x^{2}-2 x+1}{x} \)
Aufgabe 6 (8 Punkte)
Prüfen Sie auf Monotonie und Beschränktheit:

Answer 1

Hallo

1. skizziere die Funktionen  oder lass sie dir plotten.

dann kannst du sehen, gibt es zu jedem y Wert nur einen x Wert folgt injektiv.

wird für x in (-1,1) jeder Punkt in (-1,1) erreicht? wenn nicht nicht surjektiv

bijektiv nur wenn injektiv und surjektiv

das dann noch begründen, aber die Begründungen kann man ja am Graph ablesen z.B. a) nicht injektiv denn f(1)=f(0)

Gruß lul

Comments

Hallo und danke für deine schnelle Antwort:)

Graphisch ist das Ganze für mich kein Problem. Der rechnerische Beweis stellt für mich ein großes Problem dar. Ich weiß einfach nicht wie ich vorgehen soll und bräuchte einen rechenweg den ich verinnerlich kann.

---

Könntest du das ganze für mich nochmal rechnerisch darstellen mit den (-1,1)? Wäre extremst hilfreich:)

---

f(1)=f(0)

1 liegt nicht im Definitionsbereich von f.

Answer 2

Etwas spät aber ich würde es so zeigen:

a) f(x)=x-x²

^{Ist nicht injektiv, da aus der Bildmenge mit f(x) für x=0 und x=1 das gleiche Element der Zielmenge zugeordnet wird (die 0).}

^{Nach Definition, darf bei einer vorhandenen Injektivität,  jedes Element der Zielmenge höchstens ein Element der Bildmenge haben.}

^{Bei der Surjektivität stellt sich die Frage, ob es zu jedem Element aus der Zielmenge, ein Element aus der Bildmenge gibt.}

^{Für die Werte -1,0,1 durchgerechnet, sieht man, dass es zu jedem f(x) ein y gibt.}

^{b) surjektiv, nicht injektiv, nicht bijektiv}

^{c) ist bijektiv}