\(A = \det \begin{pmatrix} a_{} & b_{} & \cdots & b_{} \\ b_{} & a_{} & \cdots & b_{} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{} & b_{} & \cdots & a_{} \end{pmatrix} \)
Addiere Spalten 2 bis n zur 1. Spalte und nehme den gemeinsamen Faktor heraus:
$$= (a+(n-1)b)\det \begin{pmatrix} 1 & b_{} & \cdots & b_{} \\ 1 & a_{} & \cdots & b_{} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & b_{} & \cdots & a_{} \end{pmatrix}$$
Subtrahiere 1. Zeile von allen anderen:
$$= (a+(n-1)b)\det \begin{pmatrix} 1 & b_{} & \cdots & b_{} \\ 0 & a-b & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a - b \end{pmatrix}$$
$$=(a+(n-1)b)(a-b)^{n-1}$$