Bestimme den Wert der Determinante der Matrix

Question

Aufgabe:

Bestimme den Wert der Determinante der Matrix

$$A_{} = \begin{pmatrix} a_{} & b_{} & \cdots & b_{} \\ b_{} & a_{} & \cdots & b_{} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{} & b_{} & \cdots & a_{} \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^{(nxn)}$$

Comments

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Answer 1

\(A = \det \begin{pmatrix} a_{} & b_{} & \cdots & b_{} \\ b_{} & a_{} & \cdots & b_{} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{} & b_{} & \cdots & a_{}  \end{pmatrix} \)

Addiere Spalten 2 bis n zur 1. Spalte und nehme den gemeinsamen Faktor heraus:

$$= (a+(n-1)b)\det \begin{pmatrix} 1 & b_{} & \cdots & b_{} \\ 1 & a_{} & \cdots & b_{} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & b_{} & \cdots & a_{}  \end{pmatrix}$$

Subtrahiere 1. Zeile von allen anderen:

$$= (a+(n-1)b)\det \begin{pmatrix} 1 & b_{} & \cdots & b_{} \\ 0 & a-b & \cdots & 0 \\ 0 & 0  & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a - b \end{pmatrix}$$

$$=(a+(n-1)b)(a-b)^{n-1}$$

Answer 2

Teste das mal für n = 2, n = 3 und n = 4 und äußere eine Vermutung.

Versuche die Vermutung z.B. über vollständige Induktion zu beweisen.

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Ich vermute als Determinante

(a - b)^(n - 1)·(a + (n - 1)·b)

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