Gleichungssysteme zum Lösen

Question

Aufgabe:

2. Gleichungssysteme

Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme und geben Sie jeweils die komplette
Lösungsmenge – wenn nötig in parametrisierter Form – an! Zeichnen oder plotten Sie
für jedes
Gleichungssystem die drei Ebenen, deren Schnitt die Lösungsmenge ist und heben Sie die
Lösungsmenge farblich hervor.

A*x=b mit A=\( \begin{pmatrix} 0&1 & -1 \\ 1 & 0&-1 \\ 1&-1&0 \end{pmatrix} \) und b \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{pmatrix} \)
Problem/Ansatz:

Dann erweitert man die Matrix mit [A:b]und kriegt

\( \begin{pmatrix} 0& 1&-1&1\\ 1 & 0&-1&1 \\1 & -1&0&0 \end{pmatrix} \) 

das kann man umformen und kriegt

\( \begin{pmatrix} 1& 0&-1&1\\ 0& 1&-1&1 \\0 & 0&0&0 \end{pmatrix} \)

x₃=s wäre die Lösungsmatrix \( \begin{pmatrix} 1+s \\ 1+s \\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0  \end{pmatrix} \)+s\( \begin{pmatrix} 1\\ 1\\1\end{pmatrix} \)

Also so viel zu ersten Rechnung

Jetzt zu meinem Problem

Wir haben A*x=b mit A=\( \begin{pmatrix} 0& 3& -1\\ -6 & 3&2 \\-6& -3&-2 \end{pmatrix} \) und b=\( \begin{pmatrix} -3\\6\\-6 \end{pmatrix} \)

Ich mach jetzt mal dasselbe wie oben und komme auf

\( \begin{pmatrix} -6 & 3& -2& -6\\ 0 & 3 & -1& 3\\ 0 & 0& -2& -18\end{pmatrix} \)

Aber wie mache ich von da weiter. und wie genau muss ich den Schritt verstehen " fur jedes
Gleichungssystem die drei Ebenen, deren Schnitt die Losungsmenge ist"

So ist etwas länger geworden aber vielleicht guckt sich das einer an

Viele Grüße

Answer 1

Ich frage mich, wie die erste Zeile zu stande kommt?

Ich vermute Vorzeichenfehler....

Grundsätzlich macht Du auf der oberen Dreiecksseite weiter

Zeile 3  | *(-1/2)

Zeile 2 += Zeile 3

Zeile 1 += 2 Zeile 3

usw. bis nur noch Diagonalelemente übrig sind - da ist die Lösung dann abzulesen

das wäre

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&4\\0&0&1&9\\\end{array}\right) \\ \left\{ x1 = 0, x2 = 4, x3 = 9 \right\}  \)

was aber wie erwartet falsch ist....

Comments

Hallo, in der Tat glaube ich hat sich irgendwo ein Vorzeichenfehler eingeschlichen.

Eine kleine verständnisfrage noch

Du hast die Zeilen jetzt vertikal betrachtet und umgeformt.(Weswegen eine Zeile 4 vorkommt)

Ich habe das nämlich immer horizontal gemacht.

Viele Grüße

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Eine vertikale Zeile ist eine Spalte, oder ;-)

und nein - einfach ein Tipfehler - habs ausgebessert

Wenn DU eine Rechenhilfe suchst

A:={{0,3,-1,-3},{-6,3,2,6},{-6,-3,-2,-6}}

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/yygxzq8p

P:{{3, 2, -2}, {2, 3}, {2, 1, -1}, {1, 3}}

bis zur oberen Dreiecksmatrix

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"Zeichnen oder plotten Sie
für jedes
Gleichungssystem die drei Ebenen, deren Schnitt die Lösungsmenge ist und heben Sie die
Lösungsmenge farblich hervor."

Gut dann habe ich eine Lösung aber wenn ich das jetzt plotten möchte muss ich dass unter P eingeben oder was ist damit gemeint

Viele Grüße

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Aus der verlinkten App

>P enthält Zeilenoperationen als Elementarmatrizen
Zeilen-Operation {r,c,a}, gelesen von links nach rechts : r=r+c*a
<

Für die Ebenen musst Du das GLS

A*x=b

direkt aufschreiben, also:

{3y - z + 3, -6 x + 3y + 2z - 6, -6 x - 3y - 2z + 6} = 0

in der App mit der um b erweiterten Matrix A (x,y,z,-1) = 0

und in dem Wust den Schnittpunkt suchen etwa

 

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Auch wenn ich jetzt gerade auf ein anderes Ergebnis kam (vllt ist dass dann nicht so wust), dass ist nämlich auch nicht meine Frage

Geogebra kenn ich soweit. Weder unter deinem Link noch unter dem Link konnte ich aus Geogebra eine Matrix rauskitzeln

Gäbe es dazu vielleicht einen speziellen Link wo das schon vorbereitet wäre?

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Öffne die App

https://www.geogebra.org/classic/yygxzq8p

(oder wenn du ggb auf dem Rechner hast lade die App herunter)

nach Zeile 5 kopiere

A:={{0,3,-1,-3},{-6,3,2,6},{-6,-3,-2,-6}}

stelle den Slider auf 1

In die InputBox P kopiere die Schrittfolge

{{1, 2, 1}, {2, 3, 1}, {1, 3, 2}, {3, 3, 1 / 6}, {3, 2, -2}, {2, 3}, {2, 1, -1}, {1, 3}}

mit dem Slider 1...8 kannst Du die Aktionen schrittweise kommentiert verfolgen:

Ich habe bei

\(\scriptsize \left\{ \left(\begin{array}{rrr}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}-6&-3&0&0\\0&3&0&0\\0&0&1&3\\\end{array}\right), Δ, Π, \left(\begin{array}{rrrr}-6&0&0&0\\0&3&0&0\\0&0&1&3\\\end{array}\right), Zeile1 += 1 Zeile2 \right\} \)

aufgehört, weil -6 x1=0 die gleiche Aussage macht wie x1=0

Zur RRef fehlen {1,1,-1/6},{2,2,1/3} also komplett

{{1, 1, -1 / 6}, {2, 2, 1 / 3}, {1, 2, 1}, {2, 3, 1}, {1, 3, 2}, {3, 3, 1 / 6}, {3, 2, -2}, {2, 3}, {2, 1, -1}, {1, 3}}

und Reihenfolge:{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Ach, noch ein Gedicht

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/wqeN2wyj

wenn DU garnix tun willst ;-)

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Hi also ,dass alles kriege ich ja jetzt hin aber ich habe jetzt jeden Knopf gedrückt und nirgendwo wurde mir jetzt der Wust geplottet, Vllt kannst du mir noch sagen wo der PlotKnopf ist

Viele Grüße und einen schönen dritten Advent

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Ja, das glaub ich gerne.

Matrizen plotten sich gaanz schlecht.

siehe oben, ich zitiere mich selbst

>Für die Ebenen musst Du das GLS

A*x=b

direkt aufschreiben, also:

{3y - z + 3, -6 x + 3y + 2z - 6, -6 x - 3y - 2z + 6} = 0

in der App mit der um b erweiterten Matrix A (x,y,z,-1) = 0

<

Du weißt wie Ebenengleichungen aussehen? Wenn Du sie getrennt eingibst, kannst Du mit unterschiedlichen Farben arbeiten, was etwas deutlicher rüber kommt...