Quotientenkriterium nicht anwendbar. Beweis

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Reihe
$\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k+(-1)^{k}}$
Zeigen Sie, dass
a) das Quotientenkriterium nicht anwendbar ist,

Problem/Ansatz:

Ich habe das mehrmals gerechnet und hab nie 1 erhalten. Ist das Kriterium anwendbar, falls 2 verschiedene Werte rauskommen?

Answer 1

Sei $q_k=\left| \frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$. Dann ist

$q_k=1/8$ für ungerades $k$ und $q_k=2$ für gerades $k$.

$(q_k)$ besitzt also zwei Teilfolgen mit den verschiedenen Grenzwerten

1/8 und 2. Die Folge konvergiert also nicht, besitzt infolge dessen auch

keinen Limes.

Auch eine allgemeinere Formulierung des Quotientenkriteriums

ohne Limes ist nicht anwendbar, da weder ein q existiert, so dass

$q_k\leq q< 1$ ist für fast alle $k$, noch ein $q$

existiert, so dass $q_k\geq q>1$ ist für fast alle $k$.