Quotientenkriterium nicht anwendbar. Beweis

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Reihe
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k+(-1)^{k}} \)
Zeigen Sie, dass
a) das Quotientenkriterium nicht anwendbar ist,

Problem/Ansatz:

Ich habe das mehrmals gerechnet und hab nie 1 erhalten. Ist das Kriterium anwendbar, falls 2 verschiedene Werte rauskommen?

Answer 1

Sei \(q_k=\left| \frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \). Dann ist

\(q_k=1/8\) für ungerades \(k\) und \(q_k=2\) für gerades \(k\).

\((q_k)\) besitzt also zwei Teilfolgen mit den verschiedenen Grenzwerten

1/8 und 2. Die Folge konvergiert also nicht, besitzt infolge dessen auch

keinen Limes.

Auch eine allgemeinere Formulierung des Quotientenkriteriums

ohne Limes ist nicht anwendbar, da weder ein q existiert, so dass

\(q_k\leq q< 1\) ist für fast alle \(k\), noch ein \(q\)

existiert, so dass \(q_k\geq q>1\) ist für fast alle \(k\).