Zeigen Sie: Quadratische Matrizen, Spur

Question

Aufgabe:

Für quadratische Matrizen betrachten wir die Spur-Funktion

Spur: \( K^{N \times N} \rightarrow K \), \(A \mapsto \operatorname{Spur}(A):=\sum \limits_{n=1}^{N} a_{n n} .\)

(a) Zeigen Sie \( \operatorname{Spur}\left(A^{\top} A\right)=\sum \limits_{m, n=1}^{N} a_{n m}^{2} \).

(b) Zeigen Sie \( \operatorname{Spur}\left(\mathbf{x} \mathbf{y}^{\top}\right)=\mathbf{y}^{\top} \mathbf{x} \) für \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \in K^{N} \).

(c) Sei nun \( K=\mathbb{K} \). Zeigen Sie \( \operatorname{Spur}(A)=0 \), falls \( A \) antisymmetrisch ist.

Ich brauche dringend Hilfe für diese Aufgabe und wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte. Danke im voraus

Comments

KIT lässt grüßen

Answer 1

Fang mal mit einer beliebigen Matrix A an:

\(   \begin{pmatrix} a_{11} &  a_{12} & \dots &  a_{1N} \\ a_{21} &  a_{22} & \dots &  a_{2N}   \\  \dots & \dots &\dots &\dots  \\ a_{N1} &  a_{N2} & \dots &  a_{NN}  \end{pmatrix}    \)

Dann ist A^T =

\(  \begin{pmatrix} a_{11} &  a_{21} & \dots &  a_{N1} \\ a_{12} &  a_{22} & \dots &  a_{N2}  \\  \dots & \dots &\dots &\dots \\ a_{1N} &  a_{2N} & \dots &  a_{NN}  \end{pmatrix}    \)

Jetzt brauchst du ja die Elemente auf der Hauptdiagonalen des

Produktes \( A^{\top} A \).

Das erste oben links entsteht also durch die erste Zeile von A^T und

die erste Spalte von A, die sind aber beide gleich, also gibt

das \( \sum \limits_{m=1}^{N} a_{1m}^{2} \) und beim 2. Element in der

Hauptdiagonale von \( A^{\top} A \) entsprechend \( \sum \limits_{m=1}^{N} a_{2m}^{2} \).

Wenn man die alle addiert, gibt es also \( \operatorname{Spur}\left(A^{\top} A\right)=\sum \limits_{m, n=1}^{N} a_{n m}^{2} \)