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 \( \frac{\left(x^{2} y\right)^{2}}{x^{-1} y^{2}}: \frac{\left(x^{-2} y^{2}\right)^{2}}{\left(x^{3} y\right)^{2}}= \)

kann mir jemand erklären wie man das auflöst?

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Aloha :)

Wie formen den folgenden Term gemeinsam um:$$\phantom=\frac{(x^2y)^2}{x^{-1}y^2}\div\frac{(x^{-2}y^2)^2}{(x^3y)^2}$$

Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert:$$=\frac{(\red{x^2}\green y)^{\pink2}}{x^{-1}y^2}\cdot\frac{(\red{x^3}\green y)^{\pink2}}{(\red{x^{-2}}\green{y^2})^{\pink2}}$$

Es gilt \((\red a\cdot \green b)^{\pink c}={\red a}^{\pink c}\cdot{\green b}^{\pink c}\). Damit ziehen lösen wir die Klammern auf:$$=\frac{(\red{x^2})^{\pink2}\green y^{\pink2}}{x^{-1}y^2}\cdot\frac{(\red{x^3})^{\pink2}\green y^{\pink2}}{(\green{x^{-2}})^{\pink2}(\green {y^2})^2}$$

Es gilt \((a^b)^c=a^{b\cdot c}\). Damit lösen wir die mehrfachen Potenzen auf:$$=\frac{x^{2\cdot2}y^2}{x^{-1}y^2}\cdot\frac{x^{3\cdot2}y^2}{x^{(-2)\cdot2}\cdot y^{2\cdot2}}=\frac{x^4y^2}{\pink{x^{-1}y^2}}\cdot\frac{x^6y^2}{\green{x^{-4}y^4}}$$

Ein Faktor springt über den Bruchstrich, indem sein Exponent das Vorzeichen wechselt. Damit lassen wir alle Faktoren aus dem Nenner in den Zähler springen. Die Nenner sind dann 1 und können weggelassen werden:$$=x^4y^2\pink{x^1y^{-2}}\cdot x^6y^2\green{x^4y^{-4}}$$

Es gilt \(a^b\cdot a^c=a^{b+c}\). Damit fassen wir die Potenzen zusammen:$$x^{4+1+6+4}\cdot y^{2-2+2-4}=x^{15}\cdot y^{-2}$$Der Exponent von \(y\) ist negativ, wir lassen den Faktor daher in den Nenner springen:$$=\frac{x^{15}}{y^2}$$

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Man verwendet die Potenzgesetze (kennst du sicher alle) sowie Regeln der Bruchrechnung (zur Division durch einen Bruch und zum Kürzen). Wenn Potenzen mit negativen Exponenten den Bruchstrich überspringen, werden die Exponenten positiv.

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\( \frac{\left(x^{2} y\right)^{2}}{x^{-1} y^{2}}: \frac{\left(x^{-2} y^{2}\right)^{2}}{\left(x^{3} y\right)^{2}}\\=x^4y^2xy^{-2}\cdot x^6y^2x^4y^{-4}\\=x^{15}y^{-2}\\=\dfrac{x^{15}}{y^2} \)

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