Matrix einer linearen Abbildung

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 4. (S, 10 Punkte) (Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung) Gegeben seien drei Basen \( \mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D} \) von \( \mathbb{R}^{2} \) sowie ein Vektor \( v \in \mathbb{R}^{2} \) :
\( \begin{array}{l} \mathcal{B}=\left\{b_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad b_{2}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right)\right\}, \quad \mathcal{C}=\left\{c_{1}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array}\right), \quad c_{2}=\left(\begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right)\right\} \\ \mathcal{D}=\left\{d_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right), \quad d_{2}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right)\right\}, \quad v=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 5 \end{array}\right) . \end{array} \)
Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \) die linear Abbildung gegeben durch \( f\left(c_{1}\right)=d_{1}, f\left(c_{2}\right)=d_{2} \).
(a) Stellen Sie \( b_{1} \) als Linearkombination bezüglich der Basis \( \mathcal{C} \) dar.
(b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( T_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \) von der Identitätsabbildung id: \( \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) bezüglich die Basen \( \mathcal{B} \) in Urbild und \( \mathcal{C} \) in Bild, sowie die darstellende Matrix \( T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \) von id: \( \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) bezüglich die Basen \( \mathcal{C} \) in Urbild und \( \mathcal{B} \) in Bild.
(Bemerkung: die Matrix \( T_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \) heißt die Basiswechselmatrix für die Basiswechsel von \( \mathcal{B} \operatorname{nach} \mathcal{C} \).
(c) Bestimmen Sie den Koordinatenvektor \( v_{\mathcal{B}} \) von \( v \) bezüglich die Basis \( \mathcal{B} \).
(d) Bestimmen Sie die Koordinatenvektor \( v_{\mathcal{C}} \) mit Hilfe der darstellende Matrix \( T_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \).
(e) Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix \( T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{D}} \) für die Basiswechsel von \( \mathcal{B} \) nach \( \mathcal{D} \).
(f) Berechnen Sie den Koordinatenvektor \( f\left(b_{1}\right)_{\mathcal{C}} \) von \( f\left(b_{1}\right) \) bezüglich die Basis \( \mathcal{C} \).
(g) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( f_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \) von \( f \) bezüglich die Basen \( \mathcal{B} \) und \( \mathcal{C} \).
(h) Berechnen Sie \( f_{\mathcal{B}}^{\mathcal{D}} \) mit Hilfe der Ergebnisse von (b), (e) und (g).

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Aufgabe nicht. Was muss man hier machen (Bitte anhand von Beispielen erklären)

Answer 1

a)  Da musst du a und b ausrechnen :

\( \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) = a \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array}\right)+b \cdot \left(\begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) \)

indem du es auf ein Gleichungssystem zurückführst

1 = 2a + 4b  
1=   -a + 3b .

b) Dann bestimmst du z.B \( T_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \) indem du die Bilder der Basisvektoren von \(  \mathcal{B} \) , die bei derAbbildung id entstehen, durch die Basis \(  \mathcal{C} \) darstellst. Du musst also a,b,c,d bestimmen mit  \(  id(b_1)=a\cdot c_1 + b \cdot c_2   \) 
und \(  id(b_2)=c\cdot c_1 + d \cdot c_2  \).

Dann ist
a  c
b  d
die gesuchte Matrix.

Kurz geht das mittels Matrizenschreibweise

\(  \begin{pmatrix} 1 & 1 \\2 & 1 \end{pmatrix}  =\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2& 4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\)

Das gibt

\( \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\2 & 1 \end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} 2& 4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}^{-1}\)