Die Matrix der linearen Abbildung

Question

Aufgabe: Die Matrix der linearen Abbildung f:R2→R2,(x,y)↦(x−y,x+y) ist bezüglich der Standardbasis {e1,e2} von R2 durch die Matrix A=(aij) gegeben. Wählen Sie aus den angegebenen Matrizen die richtige Darstellungsmatrix aus.

Die richtige Darstellungsmatrix ist:

1	-1
1	1

Warum? Wie kommt man darauf?

Answer 1

Hallo Miriam,

eine lineare Abbildung \(\mathbb R^2 \to \mathbb R^2\) bedeutet, dass einem Vektor ein zweiter Vektor zugewiesen wird, der durch eine Matrizenmuktiplikation berechnet werden kann. Also$$\text{aus:}\space\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \quad \text{wird} \space \to A \cdot \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$$bzw.:$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}x+ a_{12}y \\ a_{21}x+  a_{22}y \end{pmatrix} $$Die Vorgabe aus der Aufgabenstellung ist (x,y)↦(x−y,x+y); in Vektorschreibweise:$$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} x-y\\x+y \end{pmatrix}$$also muss doch folgendes gleich sein:$$\begin{pmatrix} a_{11}x+ a_{12}y \\ a_{21}x+  a_{22}y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-y\\x+y \end{pmatrix}$$und wenn man die Koeffizieneten vergleicht, folgt doch unmittelbar:$$a_{11} = 1, \quad a_{12}=-1\\ a_{21}=1, \quad a_{22} = 1$$oder eben $$A = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$Gruß Werner

Answer 2

Hallo :-)

Berechne einfach mit \(\varepsilon:=\{e_1,e_2\}\) die Matrix

\(A:=M_{\varepsilon}^{\varepsilon}(f)=\Big(\phi_{\varepsilon}^{-1}(f(e_1)),\phi_{\varepsilon}^{-1}(f(e_2))\Big)\).

Dabei ist \(\phi_{\varepsilon}\) die Koordiantenabbildung bzgl der Basis \(\varepsilon\).