Bestimmen Sie das Bild von f und ggf.

Question

Aufgabe:

Es sei \( f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \) die lineare Abbildung gegeben durch \( \left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \longmapsto\left(\begin{array}{c}x+2 y \\ x+y\end{array}\right) \cdot \) (Wir haben in Aufgabe 4 (d) Blatt 7 gezeigt, dass \( f \) linear ist.)

Wir betrachten den Untervektorraum \( U:=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x-y=0\right\} \) von \( \mathbb{R}^{2} \).
(a) Geben Sie eine Basis von \( U \) an.
(b) Ist \( f(U) \subset U \) ?
(c) Bestimmen Sie das Bild von \( f \) und ggf. den Kern von \( f \) sowie die Dimension des Kerns und die Dimension der Bildmenge.
(d) Ist \( f \) injektiv, surjektiv, bijektiv?

Problem/Ansatz:

habe keinen Ansatz für die a und b wüsst ich auch nicht wie genau ich da starten sollte freue mich über jede Hilfe. Habe auch schon Video angeschaut und im Internet gesucht aber konnte nix wirklich finden was bei der a hilft

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) Für alle Vektoren \(\binom{x}{y}\in U\) gilt die Bedinung \(x-y=0\) bzw. \(y=x\). Daher können wir sie alle in folgender Form schreiben:$$\binom{x}{y}\in U\implies \binom{x}{y}=\binom{x}{x}=x\cdot\binom{1}{1}$$Da \(x\in\mathbb R\) frei wählbar ist, können wir alle Vektoren aus \(U\) als Vielfaches von \(\binom{1}{1}\) ausdrücken. Daher ist \(\binom{1}{1}\) eine Basis von \(U\).

zu b) Wir setzen einen beliebigen Vektor \(\binom{u}{u}\) in \(f\) ein:$$f(x;y)=f(u;u)=\binom{u+2u}{u+u}=\binom{3u}{2u}=u\binom{3}{2}$$Für \(u=1\) erhalten wir das Bild \(\binom{3}{2}\), das nicht in \(U\) enthalten ist, da die beiden Koordinaten unterschiedlich sind. Daher ist \(f(U)\not\subset U\).

zu c) Wir zerlegen die Abbildung \(f\) wie folgt in eine Linearkombination$$f(x;y)=\binom{x+2y}{x+y}=x\binom{1}{1}+y\binom{2}{1}=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 2\\1 & 1\end{pmatrix}}_{\eqqcolon A}\binom{x}{y}$$und stellen fest, dass der Bild-Raum von den beiden linear unabhängigen Vektoren \(\binom{1}{1}\) und \(\binom{2}{1}\) aufgespannt wird. Daher ist das Bild von \(f\) zwei-dimensional und der Kern von \(f\) ist null-dimensional, d.h. nur der Nullvektor selbst gehört zum Kern.

zu d) Die Abbildung \(f\) ist bijektiv, also injektiv und surjektiv, da die Abbildungsmatrix \(A\) invertierbar ist.