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Aufgabe: Untersuche, für welche x element von R die Reihe

20221212_134906.jpg

Text erkannt:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n !+n^{n}} x^{n} \)

konvergent bzw. absolut konvergent ist

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die Summanden sind alle kleiner 1, aber für große n nahe 1.

kannst du es dann?

lul

Meinst du wirklich  die Summanden ?

Hallo

nein ich meine natürlich die Koeffizienten ohne x^n

lul

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Konvergenzradius nach dem Quot.kriterium bestimmen

wäre, wenn er existiert, der Grenzwert \( \lim \limits_{n \to \infty}  \frac{a_n}{a_{n+1}}\)

Also betrachte \(   \frac{\frac{n^n }{n!+n^n}}{\frac{(n+1)^{n+1} }{(n+1)!+(n+1)^{n+1}}}\)

\( =  \frac{n^n }{n!+n^n} \cdot \frac{(n+1)!+(n+1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1} }\)

2. Bruch mit n+1 kürzen

\( =  \frac{n^n }{n!+n^n} \cdot \frac{n!+(n+1)^{n}}{(n+1)^{n} }\)

\( = (\frac{n}{n+1})^n \cdot  \frac{n!+(n+1)^{n}}{n!+n^n}\)

\( = (\frac{n}{n+1})^n \cdot \frac{\frac{n!}{n^n}+(\frac{n+1}{n})^{n}}{\frac{n!}{n^n}+1}\)

Grenzwertsätze ergeben den Gerenzwert

\(  e^{-1} \cdot \frac{0+e}{0+1} = 1 \)

Also ist die Reihe abs. konvergent in ]-1 ; 1 [.

In den Randpunkten aber nicht.

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