Konvergenzradius nach dem Quot.kriterium bestimmen
wäre, wenn er existiert, der Grenzwert \( \lim \limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}\)
Also betrachte \( \frac{\frac{n^n }{n!+n^n}}{\frac{(n+1)^{n+1} }{(n+1)!+(n+1)^{n+1}}}\)
\( = \frac{n^n }{n!+n^n} \cdot \frac{(n+1)!+(n+1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1} }\)
2. Bruch mit n+1 kürzen
\( = \frac{n^n }{n!+n^n} \cdot \frac{n!+(n+1)^{n}}{(n+1)^{n} }\)
\( = (\frac{n}{n+1})^n \cdot \frac{n!+(n+1)^{n}}{n!+n^n}\)
\( = (\frac{n}{n+1})^n \cdot \frac{\frac{n!}{n^n}+(\frac{n+1}{n})^{n}}{\frac{n!}{n^n}+1}\)
Grenzwertsätze ergeben den Gerenzwert
\( e^{-1} \cdot \frac{0+e}{0+1} = 1 \)
Also ist die Reihe abs. konvergent in ]-1 ; 1 [.
In den Randpunkten aber nicht.
