Question

Wie bestimme ich die Basis?

Text erkannt:

Aufgabe 9.5 \( \left(6^{*} 2 \mathrm{P}\right) \). Geben Sie jeweils eine Basis des folgenden Vektorraums \( ^{1} \) an und begründen Sie Ihre Antwort.
1. \( U=\left\{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}-x_{2}=x_{3}, x_{2}=x_{3}\right\} \)
2. \( V=\left\{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4}: x_{1}-x_{3}=0, x_{1}=x_{2}\right\} \)
3. \( W=\left\{\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}: x_{1}=x_{2}=x_{3}\right\} \)
4. \( Z=\left\{\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n}: \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=0\right\} \)

Answer 1

Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem. Du suchst dir also die kleinste Zahl an lin. unabhängigen Vekoren, mit der sich alle Elemente in deinen Räumen darstellen lassen:

Bei deinem Raum U gelten die Bedingungen x1-x2=x3 und x2=x3. Setze einfch mal x3=a mit a∈ℝ.

Dann gilt für die zweite Bedingung x2=a und für die erste Bedingung x1-a=a ⇔ x1=2a. Deine Werte sind alle von dem gleichen Wert a abhängig.

Du erhältst den Vekor \( \begin{pmatrix} 2a \\ a \\ a \end{pmatrix} \).

Dein a kannst du z.B. gleich 1 setzen, der Wert ist aber eigetlich egal wegen der Skalarmultiplikation, damit erhältst du deinen Basisvekor.

Es folgt das deine Basis der Vekor \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) ist.

Bei dem Raum V gehtst du genauso vor, aber der Wert x4 ist nicht von den anderen abhängig.

Mit etwas Rechnen (wie oben) erhältst du für den ersten Vekor deiner Basis \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) (oder ein beliebiges Vielfaches).

Da aber x4 frei ist, brauchst du noch einen zweiten Basisvekor wie zum Beispiel \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).

Deine Basis für V ist \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).

Das wendest du jetzt einfach auch auf die anderen beiden Räume an :)

Comments

Könntest du mir das noch für 4) erklären?

Dankeschön schonmal!

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Die Vorschrift bei der 4) sagt theoretisch aus, das es in Summe gleich viele positive und negative Werte geben muss.

Ohne viel zu rechnen denke ich mal, das die Basis dann die Form

\( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} \),..., \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)

hat. Jeder Vekor gleicht sich damit in sich aus und lässt die anderen Felder "frei" (wie bei der 2) mit x4)