Untersuche die Folgen das versteh ich nicht

Question

Text erkannt:

6. Untersuche die Folge \( \left(a_{n}\right) \) auf Monotonie und Beschränktheit.
a) \( a_{n}:=\frac{2}{n} \)
b) \( a_{n}=\left(\frac{7}{8}\right)^{n} \)

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

zu a)\(\quad a_n=\frac2n\)$$n\ge1\implies\frac1n\le1\implies\frac2n\le2\implies a_n\le2$$$$a_{n+1}-a_n=\frac{2}{n+1}-\frac2n=\frac{2n-2(n+1)}{(n+1)n}=-\frac{2}{(n+1)n}<0\implies a_{n+1}<a_n$$Die Folge \((a_n)\) ist durch \(2\) nach oben und durch \(0\) nach unten beschränkt.

Die Folge \((a_n)\) ist streng monoton fallend.

zu b)\(\quad a_n=\left(\frac78\right)^n\)$$7<8\implies7^n<8^n\implies\frac{7^n}{8^n}<1\implies\left(\frac78\right)^n<1\implies a_n<1$$$$a_{n+1}-a_n=\left(\frac78\right)^{n+1}\!\!\!\!-\left(\frac78\right)^n=\left(\frac78\right)^n\!\!\cdot\frac78-\left(\frac78\right)^n=\left(\frac78\right)^n\left(\frac78-1\right)<0\implies a_{n+1}<a_n$$Die Folge \((a_n)\) ist durch \(1\) nach oben und durch \(0\) nach unten beschränkt.

Die Folge \((a_n)\) ist streng monoton fallend.

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Vielen lieben Dank