Sei f:ℝ \{0} →ℝ definiert durch
f(x) = (x3 +1) ÷(x² +1)
Zeige mit Hilfe von
, dass lim x→0 f(x) =1
∣x3+1x2+1−1∣=∣x3+1−(x2+1)x2+1∣=x2x2+1∣x−1∣\left|\frac{x^3+1}{x^2+1} -1\right|=\left|\frac{x^3+1-(x^2+1)}{x^2+1} \right|=\frac{x^2}{x^2+1}|x-1|∣∣∣∣∣x2+1x3+1−1∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣x2+1x3+1−(x2+1)∣∣∣∣∣=x2+1x2∣x−1∣
≤x2+1≥1x2∣x−1∣<∣x∣<1 : ∣x−1∣≤∣x∣+1<22x2<∣x∣<12∣x∣\stackrel{x^2+1 \geq 1 }{\leq}x^2|x-1|\stackrel{\color{blue}{|x|<1}: |x-1|\leq|x|+1 <2}{<}2x^2 \stackrel{|x|<1}{<}2|x|≤x2+1≥1x2∣x−1∣<∣x∣<1 : ∣x−1∣≤∣x∣+1<22x2<∣x∣<12∣x∣
D.h., zu jedem ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0 können wir δ=min(1,ϵ2)\delta = \color{blue}{\min (1,\frac{\epsilon}2})δ=min(1,2ϵ) wählen, denn dann gilt für alle x mit 0<∣x∣<δ0<|x|<\delta0<∣x∣<δ
∣x3+1x2+1−1∣<2∣x∣<2δ≤2ϵ2=ϵ\left|\frac{x^3+1}{x^2+1} -1\right|<2|x| <2\delta \leq 2\frac{\epsilon}2 = \epsilon∣∣∣∣∣x2+1x3+1−1∣∣∣∣∣<2∣x∣<2δ≤22ϵ=ϵ
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