Zeige, dass f_a(x) injektiv ist

Question

Meine Frage:
Sei Omega_p-1={1,2,...,p-1}. Für a aus \Omega_p-1 ist definiert f_a(x)(x) = ax (mod p). p ist eine Primzahl und a, x aus O\Omega_p-1.
b) Zeige, dass f_a(x) injektiv ist
c) Leite davon ab, dass f_a(x) bijektiv ist ( f_a \in Sym(\Omega_p-1) = S_p-1)

Sorry fürs Format, anders konnte ich leider nichts einfügen
Meine Ideen:
Ich scheitere schon am zeigen von Nummer b). ES macht schon sinn, da wir ja nur auf jedes a-te Element abbilden und dann ja mod p sind. Aber ich weiß nicht, wie ich das Mathematisch zeigen kann...
Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar!

Answer 1

(b) \(a \in \{1,\ldots,p-1\} \stackrel{p\; prim}{\Longrightarrow} ggT(a,p)=1\)

Also

\(ax\equiv ay\: (p) \stackrel{ggT(a,p)=1}{\Longrightarrow} x\equiv y\: (p)\stackrel{x,y \in \Omega}{\Longrightarrow} x=y\). D. h. , injektiv.

(c) Da \(|\Omega | = p-1\) und \(f_a\) injektiv, ist \(|f_a(\Omega )| = p-1\). D.h., surjektiv.

Also insgesamt bijektiv.

Comments

Ohh, so macht das auch mathematisch voll Sinn! Vielen Dank!