Basiswechselmatrix angeben Standardbasis und weitere Basis

Question

Im R-Vektorraum R3 betrachten Sie die Standardbasis e = (e1, e2, e3) und die Vektoren b1=(0, 1, 0), b2 = (1, 0, 2), b3 = (0, 0, 1). Geben Sie die Basiswechselmatrix M(id,b,e) an

Kann mir jemand bitte zeigen wie diese Aufgabe gelöst wird?

Comments

Schreib einfach die Vektoren b1, b2, b3 als Spalten in eine Matrix. Das ist die gesuchte Matrix.

Answer 1

Aloha :)

Die Vektoren \(\vec b_1,\vec b_2,\vec b_3\) der neuen Basis \(B\) sind in Koordinaten bezüglich der Standardbasis \(E\) angegben. Du kennst also die Basiswechselmatrix von \(B\) nach \(E\):$${_E}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 2 & 1\end{array}\right)$$

Hier ist die umgekehrte Richtung von \(E\) nach \(B\) gesucht. Das ist aber genau die inverse Matrix, weil sie ja die Umwandlung von \(B\) nach \(E\) rückgängig machen muss:$${_B}\mathbf{id}_E=\left({_E}\mathbf{id}_B\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 2 & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\-2 & 0 & 1\end{array}\right)$$