Bestimmen Sie die Matrix M(f,e,e) in M3(R) von f in der Standardbasis e des R3

Question

Aufgabe 2. Seien \( E, G \subseteq \mathbb{R}^{3} \) die Untervektorräume
\( E=\left\{\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}+2 x_{2}=x_{3}\right\} \quad \text { und } \quad G=\left\{\left(\begin{array}{c} t \\ 0 \\ 2 t \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid t \in \mathbb{R}\right\} . \)
(ii) Sei \( f: E \oplus G \rightarrow E \oplus G, e+g \mapsto-e+g \), wobei \( e \in E, g \in G \). Bestimmen Sie \( M(f, b, b) \in M_{3}(\mathbb{R}) \).
(iii) Bestimmen Sie die Matrix \( M(f, e, e) \in M_{3}(\mathbb{R}) \) von \( f \) in der Standardbasis \( e \) des \( \mathbb{R}^{3} \).

Answer 1

Für die \( M(f, e, e) \in M_{3}(\mathbb{R}) \) musst du die Bilder der

Basisvektoren bestimmen.

Dazu wäre es wohl gut erstmal Basen von E und G zu bestimmen.

Da x1+x2=x3 gilt, sehen die Elemente von E so aus:

\(\left(\begin{array}{c} a \\ b \\ a+b \end{array}\right)  = a\cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) +b\cdot \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \)

und die von G so \( t\cdot \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \\ 2 \end{array}\right) \)

Jetzt also z.B. den ersten kanonischen Basisvektor von ℝ^3 mit diesen dreien

darstellen, das gibt

\(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)  = a\cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) +b\cdot \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+ t\cdot \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \\ 2 \end{array}\right) \)

mit a=2 und b=0 und t=-1.

Also ist die gesuchte Darstellung aus der Def. von f: \( e+g \mapsto-e+g \)    \(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)  =  \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ -2 \end{array}\right) \)

und somit ist \(f(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) ) =  -\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ -2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -3\\ 0 \\ -4 \end{array}\right)\)

und das ist also die erste Spalte der gesuchten Matrix

\(  M(f, e, e) = \left(\begin{array}{c} -3&?&?\\ 0&?&? \\ -2&?&? \end{array}\right)\)

und die anderen bekommst du, wenn du den 2. und 3. kanonischen

Basisvektor von ℝ^3 abbildest.