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Aufgabe:

folgere aus (1 + (1/n))n ≤  e  ≤  (1+ (1/n))(n+1), dass lim n→∞ (1 + (1/n))n


Problem/Ansatz: Ich weiß nicht genau, wie ich den Grenzwert beweisen soll.

Normalerweise würde ich einfach sagen, dass (1 + (1/n))n =  en*ln(1 + (1/n)) ist, und dann solange umformen, bis e rauskommt. Aber wir haben in der Vorlesung den Logarithmus noch nicht definiert, deshalb "darf" ich das nicht so machen.

Weiß jemand, wie ich den Grenzwert aus der obigen Ungleichung folgern kann?

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Wie habt ihr denn die Zahl \(e\) definiert?

Der linke und der rechte Ausdruck müssen ja gegen irgendeine Darstellung für \(e\) verglichen werden.

e = exp(1) = Σn=0 (1/n!)

1 Antwort

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Beste Antwort

(1 + (1/n))n + 1 = (1 + (1/n))n(1 + (1/n)) Für große n nähert sich 1/n null beliebig an. Damit nähert sich der Ausdruck (1  + (1/n)) beliebig nah eins. Und (1 + (1/n))n +1  wird gleich (1 + (1/n))n(1), was wiederum gleich (1 + (1/n))n ist.

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Kannst du noch erläutern, was deine Antwort mit der in der Fragestellung vorgenommenen Einschachtelung zu tun hat?

Das Intervall wird beliebig klein, bis es im Falle von n gleich unendlich nur noch e enthält, denn dann gilt (1 + (1/n))n = (1 + (1/n))(n + 1).

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